Relative Gieseker's problem on $F$-divided bundles

Résumé Technique : Le Problème de Gieseker Relatif sur les F-bundles Divisés

Énoncé du Problème
L'article traite du comportement des groupes fondamentaux sous les morphismes de variétés en caractéristique positive, en se concentrant spécifiquement sur la relation entre le groupe fondamental étale ($\pi_1^{\text{ét}}$) et le groupe fondamental $F$-divisé ($\pi_1^{\text{F-div}}$). En caractéristique zéro, Grothendieck a établi que pour un morphisme $f: X \to Y$ de schémas propres connexes, la surjectivité (ou l'isomorphisme) de la application sur les groupes fondamentaux étales implique la platitude fidèle (ou l'isomorphisme) de l'application sur les groupes fondamentaux stratifiés.

En caractéristique positive, les faisceaux stratifiés sont équivalents aux $F$-bundles divisés (des séquences de fibrés vectoriels liés par des tirés en arrière de Frobenius). Le problème central, connu sous le nom de problème de Gieseker, demande si des énoncés analogues tiennent pour $\pi_1^{\text{F-div}}$. Plus précisément, si $f: X \to Y$ est un morphisme surjectif de variétés projectives normales sur un corps algébriquement clos de caractéristique positive, la surjectivité de $f_*: \pi_1^{\text{ét}}(X) \to \pi_1^{\text{ét}}(Y)$ implique-t-elle que $f_*: \pi_1^{\text{F-div}}(X) \to \pi_1^{\text{F-div}}(Y)$ est platement fidèle ? De plus, l'isomorphisme des groupes fondamentaux étales implique-t-il un isomorphisme des groupes fondamentaux $F$-divisés ?

Des résultats antérieurs par Esnault et Mehta [EM10] ainsi que par Biswas, Kumar et Parameswaran [BKP25] ont traité des cas absolus ou de morphismes finis spécifiques, nécessitant souvent des hypothèses de lisséité. Sun et Zhang [SZ25] ont récemment généralisé ces résultats à des variétés normales mais ont eu recours à des preuves complexes impliquant la lisséité de la cible $Y$. Cet article vise à généraliser et renforcer ces résultats, en supprimant les hypothèses de lisséité inutiles chaque où cela est possible et en fournissant un cadre unifié.

Méthodologie
La stratégie de preuve repose sur la dualité de Tannaka. Puisque la catégorie des $F$-bundles divisés, $\text{Vect}^{\text{perf}}(X)$, est une catégorie de Tannaka, les propriétés de l'homomorphisme induit sur les groupes fondamentaux sont équivalentes aux propriétés du foncteur de tiré en arrière $f^*: \text{Vect}^{\text{perf}}(Y) \to \text{Vect}^{\text{perf}}(X)$. Spécifiquement :

1. Platitude Fidèle : Nécessite que $f^*$ soit pleinement fidèle et que son image essentielle soit fermée par sous-objets.
2. Isomorphisme : Nécessite que $f^*$ soit pleinement fidèle et essentiellement surjective.

L'article emploie les outils techniques clés suivants :

• Théorème de Descente pour les $F$-bundles Divisés : Les auteurs prouvent un analogue du théorème de descente de Bhatt et Scholze [BS17] spécifiquement pour les $F$-bundles divisés. C'est l'innovation technique centrale. Il établit qu'un $F$-bundle divisé sur $X$ descend vers $Y$ si et seulement s'il est trivial sur toutes les fibres géométriques de $f$, à condition que $f$ possède des fibres géométriquement connexes. Contrairement au résultat de Bhatt-Scholze, qui permet la descente après un morphisme fini purement inexact, ce résultat fournit une application de descente unique pour toute la séquence de fibrés.
• Factorisation de Stein : Le morphisme $f$ est décomposé en une partie avec des fibres géométriquement connexes et un homéomorphisme universel fini. Ce dernier induit une équivalence de catégories (Lemme 1.3), réduisant le problème au cas où $f$ possède des fibres géométriquement connexes.
• Morphismes Gènement Ramifiés : Pour le cas de l'isomorphisme, les auteurs utilisent la théorie des morphismes « générement ramifiés » (introduits dans [PS10] et [BKP25]). Ils adaptent les arguments concernant la stabilité de pente et le comportement des faisceaux réflexifs sous tiré en arrière au cadre des variétés normales.
• Schémas de Représentation et Moduli : Pour traiter la surjectivité essentielle (le cas de l'isomorphisme), l'article utilise la généralisation par X. Sun des schémas de représentation de Simpson en caractéristique positive [Sun19]. Cela implique la construction d'espaces de moduli de fibrés vectoriels semi-stables de Gieseker avec classes de Chern numériquement nulles et cadrés.
• Théorème de Hrushovski : La preuve de la surjectivité essentielle repose sur le théorème de Hrushovski [Hru04] concernant les points périodiques de applications rationnelles. En étendant la situation à une famille sur une base de type engendrée par un ensemble fini et en analysant l'action du morphisme de Frobenius sur le schéma de représentation, les auteurs montrent que les fibrés stables avec des propriétés de Frobenius spécifiques sont denses. Cela permet de construire les données de descente nécessaires.

Contributions Clés et Résultats

1. Théorème de Descente (Théorème 0.4 / Théorème 2.2) :
   L'article prouve que pour un morphisme propre surjectif $f: X \to Y$ de schémas $F$-finis connexes à fibres géométriquement connexes, un $F$-bundle divisé sur $X$ descend vers $Y$ si et seulement s'il est trivial sur chaque fibre géométrique. Ce résultat est indépendant du théorème de Bhatt-Scholze et est crucial pour les applications suivantes.

2. Platitude Fidèle (Théorème 0.3 et Théorème 3.8) :

   • Théorème 0.3 : Si $f: X \to Y$ est un morphisme propre surjectif avec des fibres géométriquement connexes, alors $f_*: \pi_1^{\text{F-div}}(X) \to \pi_1^{\text{F-div}}(Y)$ est platement fidèle. Ce résultat est valable sans supposer que $Y$ est lisse ou que $X$ est normale, à condition que les fibres soient géométriquement connexes.
   • Théorème 3.8 : Pour des variétés projectives normales où $Y$ est lisse et $f_*: \pi_1^{\text{ét}}(X) \to \pi_1^{\text{ét}}(Y)$ est surjective, l'application induite sur les groupes fondamentaux $F$-divisés est platement fidèle. Ce résultat généralise les travaux précédents en supprimant l'exigence que $f$ soit un morphisme fini.

3. Isomorphisme (Théorème 0.2 et Théorème 3.11) :

   • Théorème 0.2 : Si $X$ et $Y$ sont des variétés projectives normales, $Y$ est lisse, et $f_*: \pi_1^{\text{ét}}(X) \to \pi_1^{\text{ét}}(Y)$ est un isomorphisme, alors $f_*: \pi_1^{\text{F-div}}(X) \to \pi_1^{\text{F-div}}(Y)$ est un isomorphisme.
   • Théorème 3.11 : Sous l'hypothèse supplémentaire que $f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_Y$ (ce qui implique des fibres géométriquement connexes), l'isomorphisme des groupes fondamentaux étales implique l'isomorphisme des groupes fondamentaux $F$-divisés.
   • L'article note que la lisséité de $Y$ est actuellement essentielle pour la partie isomorphisme en raison des limitations de la compréhension du comportement des groupes fondamentaux étales sous l'extension de base pour les variétés normales générales et de la dépendance aux théorèmes de pureté dans les preuves existantes des morphismes générement ramifiés.

4. Généralisation des Travaux Antérieurs :
   Les résultats généralisent et renforcent le travail récent de Sun et Zhang [SZ25], qui à son tour a généralisé Esnault-Mehta [EM10] et Biswas-Kumar-Parameswaran [BKP25]. L'article fournit une preuve plus directe pour le cas de la platitude fidèle en utilisant le nouveau théorème de descente, évitant les arguments plus complexes de [SZ25].

Signification et Revendications
L'article affirme fournir une réponse définitive au problème de Gieseker relatif pour les $F$-bundles divisés dans le contexte des variétés projectives normales, sous réserve de la lisséité de la cible pour le cas de l'isomorphisme. La principale signification réside dans :

• Le Théorème de Descente : Les auteurs présentent l'analogue du théorème de descente de Bhatt-Scholze pour les $F$-bundles divisés comme un résultat d'intérêt indépendant, notant qu'il surmonte les limitations de l'application directe du théorème original à l'ensemble de la séquence de fibrés.
• Suppression des Hypothèses de Lisséité : Pour le résultat de platitude fidèle, l'article parvient à supprimer l'hypothèse selon laquelle $f$ doit être un morphisme fini ou que $X$ doit être lisse, en s'appuyant plutôt sur la connexité géométrique des fibres.
• Unification : Le travail unifie le traitement des faisceaux stratifiés en caractéristique zéro et des $F$-bundles divisés en caractéristique positive, confirmant que la relation structurelle entre les groupes fondamentaux étales et « différentiels » (stratifiés/$F$-divisés) persiste en caractéristique positive sous des conditions appropriées.

Les auteurs déclarent explicitement que la lisséité de $Y$ dans le théorème d'isomorphisme est une limitation actuelle des techniques de preuve (spécifiquement la dépendance à [BKP25] et [SZ25] pour le cas générement ramifié) plutôt qu'une nécessité connue du résultat lui-même. Ils notent également que la preuve de la seconde partie du Théorème 0.2 dépend du théorème de Hrushovski et de la bornitude des familles de faisceaux semi-stables, cachée dans les schémas de représentation de Sun.