A multilayer level-set method for eikonal-based traveltime tomography

1. Problématique

La tomographie de temps de trajet est une méthode fondamentale en imagerie géophysique et médicale visant à reconstruire la distribution spatiale de la vitesse des ondes (ou de son inverse, la lenteur) à partir de temps d'arrivée mesurés. Le défi majeur réside dans la reconstruction de modèles de lenteur discontinus et multiphases (présentant des interfaces nettes, des failles ou des couches complexes).

Les approches traditionnelles reposent souvent sur le traçage de rayons (approche lagrangienne), qui souffre d'une résolution non uniforme et de zones d'ombre dans les milieux fortement hétérogènes. Les méthodes eulériennes basées sur l'équation eikonale (comme la méthode de balayage rapide) permettent de calculer les temps de trajet comme des solutions de viscosité, mais la reconstruction inverse de structures discontinues avec des interfaces multiples reste complexe. Les méthodes de niveau-set classiques utilisent uniquement le niveau zéro d'une fonction pour représenter une interface, ce qui oblige à utiliser plusieurs fonctions de niveau-set pour gérer plusieurs phases, augmentant considérablement le coût computationnel et la complexité de la gestion des interfaces.

2. Méthodologie

Les auteurs proposent une méthode de niveau-set multicouche (MLSM - Multilayer Level-Set Method) innovante pour résoudre le problème inverse de la tomographie de temps de trajet.

A. Représentation par Niveau-Set Multicouche

Contrairement aux méthodes classiques qui n'utilisent que le niveau zéro, la MLSM représente plusieurs phases et interfaces à l'aide d'une seule fonction de niveau-set $\phi(x)$.

• Définition des interfaces : Les interfaces sont définies par une série de niveaux $i_n$ (où $n = 0, 1, 2, \dots$). L'interface $\partial\Omega_n$ correspond au niveau $i_n$ de la fonction ($\phi(x) = i_n$).
• Fonction de distance signée locale : Autour de chaque niveau $i_n$, la fonction $\phi(x)$ est conçue pour se comporter comme une fonction de distance signée locale. Cela permet de capturer arbitrairement de nombreuses interfaces et sous-régions avec une seule fonction.
• Représentation de la lenteur : La fonction de lenteur $S(x)$ est exprimée comme une fonction continue par morceaux, définie par les paramètres $p_n(x)$ et la fonction de Heaviside appliquée aux différents niveaux de $\phi(x)$.

B. Cadre Eulérien et Équation Eikonale

• Le temps de trajet est modélisé comme la solution de viscosité de l'équation eikonale $|\nabla T(x)| = S(x)$, résolue efficacement par la méthode de balayage rapide (Fast Sweeping Method).
• Le problème inverse est formulé comme un problème d'optimisation visant à minimiser l'écart entre les temps de trajet simulés et mesurés.

C. Calcul du Gradient et Méthode Adjointe

Pour résoudre le problème d'optimisation, les auteurs utilisent la méthode de l'état adjoint pour calculer les dérivées de Fréchet du fonctionnel de coût par rapport aux paramètres du modèle (la fonction de niveau-set $\phi$ et les paramètres de lenteur $p_n$).

• Cela permet de mettre à jour efficacement la géométrie des interfaces et les valeurs de lenteur à l'intérieur des phases.

D. Stratégies de Régularisation

Pour stabiliser l'inversion et éviter les oscillations numériques, plusieurs stratégies sont intégrées :

1. Réinitialisation multicouche : Une équation d'évolution est résolue pour maintenir la propriété de distance signée autour de tous les niveaux $i_n$, et pas seulement du niveau zéro.
2. Pénalisation de la longueur d'arc : Un terme de régularisation pénalise la somme des longueurs (ou aires) de toutes les interfaces ($\sum \int \delta(\phi - i_n)|\nabla \phi|$), favorisant des interfaces lisses et évitant les coins aigus.
3. Régularisation de Sobolev : Appliquée aux paramètres de lenteur $p_n$ pour assurer des mises à jour lisses et éviter le bruit haute fréquence.

E. Nouvelle Mesure d'Erreur basée sur l'Illumination

Les auteurs introduisent une mesure d'erreur pondérée par l'illumination. Dans la tomographie de premier arrivée, certaines zones du modèle peuvent être mal éclairées par les rayons (zones d'ombre). La méthode calcule une fonction d'illumination $F(x)$ en propageant l'information le long des rayons. L'erreur finale est pondérée par $F(x)$, permettant ainsi de tolérer des erreurs plus importantes dans les zones peu éclairées, ce qui reflète mieux la nature physique du problème.

3. Contributions Clés

1. Nouvelle formulation MLSM : Développement d'une méthode utilisant une seule fonction de niveau-set pour représenter un nombre arbitraire de phases et d'interfaces via une séquence de niveaux internes ($i_n$), réduisant la complexité par rapport aux méthodes multi-fonctions.
2. Algorithme d'inversion complet : Intégration de la MLSM dans un cadre eulérien pour la tomographie de temps de trajet, combinant la résolution de l'équation eikonale, la méthode adjointe et des techniques de régularisation spécifiques (réinitialisation multicouche, pénalisation d'arc).
3. Mesure d'erreur adaptative : Proposition d'une métrique d'évaluation tenant compte de l'illumination des rayons, offrant une évaluation plus juste de la qualité de la reconstruction dans les zones complexes.
4. Validation numérique : Démonstration de la capacité de la méthode à reconstruire des modèles complexes avec des discontinuités, des géométries non convexes et des variations de lenteur continues à l'intérieur des phases.

4. Résultats Numériques

Des expériences numériques ont été menées sur un domaine discretisé avec 14 sources et des mesures sur le bord complet.

• Reconstruction de géométries complexes : La méthode a réussi à reconstruire avec précision des structures à plusieurs couches, des interfaces courbes, des formes géométriques (cercles, carrés, triangles) et des topologies complexes, même avec des conditions initiales éloignées de la solution vraie.
• Reconstruction simultanée : Dans des scénarios où à la fois la géométrie des interfaces et les valeurs de lenteur (y compris des variations continues à l'intérieur des phases) sont inconnues, l'algorithme a convergé vers la solution vraie.
• Impact de la régularisation : L'utilisation de la pénalisation sur la longueur d'arc a permis d'obtenir des interfaces plus lisses sans dégrader la précision globale.
• Performance de la mesure d'erreur : La mesure d'erreur basée sur l'illumination a correctement identifié que les erreurs résiduelles se concentraient dans les zones mal éclairées (forte lenteur), validant ainsi la pertinence de cette métrique pour évaluer la performance de l'algorithme.

5. Signification et Conclusion

Ce travail présente une avancée significative dans le domaine de la tomographie de temps de trajet. La méthode MLSM surmonte les limitations des approches de niveau-set classiques en permettant la modélisation efficace de structures multiphases complexes avec un seul champ de fonction.

La combinaison de cette représentation géométrique flexible avec un cadre eulérien robuste (équation eikonale + état adjoint) et des stratégies de régularisation adaptées rend la méthode particulièrement efficace pour les problèmes inverses géophysiques où les interfaces sont nettes et les milieux hétérogènes. L'introduction de la mesure d'erreur basée sur l'illumination offre également un outil précieux pour l'analyse de la qualité de reconstruction dans des configurations d'acquisition réalistes.

En conclusion, la MLSM s'avère être un outil puissant et prometteur pour la reconstruction de structures multiphases dans la tomographie de temps de trajet, offrant une alternative robuste aux méthodes de traçage de rayons et aux approches de niveau-set traditionnelles.