Syntomification and crystalline local systems

Résumé technique : Syntomification et systèmes locaux cristallins

Problème et contexte
L'article traite de la relation entre la géométrie des schémas formels $p$-adiques et la théorie des représentations des groupes de Galois $p$-adiques. Plus précisément, il vise à généraliser l'équivalence de Bhatt-Scholze entre les $F$-cristaux prismatiques et les représentations galoisiennes cristallines (établie pour un point, c'est-à-dire $\text{Spf } \mathcal{O}_K$) au cadre des schémas formels $p$-adiques lisses $X$. L'objet central d'étude est le stack syntomique $X_{\text{Syn}}$ associé à $X$, introduit par Bhatt et Lurie. L'article examine le foncteur de réalisation étale $\mathcal{T}_{\text{ét}}: \text{Perf}(X_{\text{Syn}}) \to D^{(b)}_{\text{lisse}}(X_\eta, \mathbb{Z}_p)$, qui envoie les complexes parfaits sur le stack syntomique vers les catégories dérivées des systèmes locaux sur la fibre générique rigide $X_\eta$.

Les principaux défis abordés sont :

1. Caractériser l'image essentielle de $\mathcal{T}_{\text{ét}}$ sur la catégorie des complexes parfaits (et sa catégorie d'isogénie) en termes de systèmes locaux cristallins.
2. Déterminer si l'équivalence $\text{Perf}(\mathbb{Z}_p^{\text{Syn}})[1/p] \simeq D^b(\text{Rep}^{\text{cris}}_{\mathbb{Q}_p}(G_{\mathbb{Q}_p}))$ se généralise aux $X$ de dimension supérieure.
3. Fournir une description algébrique explicite de la catégorie $\text{Perf}(X_{\text{Syn}})[1/p]$ dans le cas propre, analogue à la description des représentations cristallines via les $F$-isocristaux faiblement admissibles filtrés.

Méthodologie
L'auteur emploie une combinaison de géométrie des stacks, de théorie de la descente et de techniques de la théorie de Hodge $p$-adique :

• Cadre des stacks : L'article utilise les stacks formels $X_{\text{Syn}}$, $X_{\text{Nyg}}$ (Nygaard) et $X_\Delta$ (prismatique). La structure de $X_{\text{Syn}}$ est analysée via des pushouts et des coégaliseurs impliquant ces stacks.
• Faisceaux réflexifs : Une innovation technique clé est l'introduction des faisceaux réflexifs ($\text{Refl}(X_{\text{Syn}})$) sur le stack syntomique. L'auteur les définit comme des faisceaux cohérents $E$ pour lesquels l'application naturelle $E \to E^{\vee\vee}$ est un isomorphisme. Il est démontré que cette sous-catégorie constitue le domaine correct pour que le foncteur de réalisation étale induise une équivalence.
• Analyse du noyau : L'article analyse le noyau du foncteur de réalisation étale. En adaptant des méthodes de Bhatt-Lurie et en utilisant des connexions graduées sur les objets gradués associés à Nygaard, il est montré que le noyau est constitué de $F$-jauge cohérents qui sont $(p, v_{1,X})$-torsion par puissance.
• Descente et recouvrements : Les preuves reposent fortement sur des surjections plates-locales (utilisant spécifiquement les stacks de Rees associés aux prismes de Breuil-Kisin) pour réduire les questions globales sur $X$ à des questions locales sur des schémas affines où des calculs explicites avec les modules de Breuil-Kisin et les $q$-connexions sont possibles.
• Carré fibré de Beilinson : Dans le cas propre, l'article construit un carré fibré de Beilinson reliant la cohomologie syntomique de $X$ à sa cohomologie cristalline (sur la fibre spéciale) et sa cohomologie de de Rham (sur la fibre générique). Ce carré est utilisé pour définir la catégorie cible des $F$-isocristaux filtrés admissibles.

Contributions et résultats clés

1. Équivalence pour les faisceaux réflexifs (Théorème A) :
   L'article établit que pour un schéma formel $p$-adique lisse et quasi-compact $X/\text{Spf } \mathcal{O}_K$, le foncteur de réalisation étale induit une équivalence de catégories :
   $$\mathcal{T}_{\text{ét}}: \text{Refl}(X_{\text{Syn}}) \xrightarrow{\sim} \text{Loc}^{\text{cris}}_{\mathbb{Z}_p}(X_\eta)$$
   où $\text{Loc}^{\text{cris}}_{\mathbb{Z}_p}(X_\eta)$ est la catégorie des systèmes locaux $\mathbb{Z}_p$ cristallins pro-étales. Ce résultat caractérise l'image essentielle du foncteur $\Pi_X$ (construit par Guo-Li) comme étant précisément les faisceaux réflexifs.

2. Catégorie d'isogénie et cohomologie cristalline (Corollaire 1.3) :
   Après inversion de $p$, le foncteur induit une équivalence sur les cœurs des structures $t$ respectives :
   $$\text{Coh}(X_{\text{Syn}})[1/p] \xrightarrow{\sim} \text{Loc}^{\text{cris}}_{\mathbb{Q}_p}(X_\eta)$$
   L'image essentielle de $\mathcal{T}_{\text{ét}}[1/p]$ sur la catégorie dérivée entière est contenue dans la sous-catégorie des objets dont les faisceaux de cohomologie sont cristallins, bien que l'article note que les inclusions sont généralement strictes (c'est-à-dire que tout complexe à faisceaux de cohomologie cristallins n'est pas nécessairement dans l'image essentielle).

3. Échec de la généralisation naïve (Exemple 4.7) :
   L'article démontre que l'équivalence $\text{Perf}(X_{\text{Syn}})[1/p] \simeq D^b(\text{Loc}^{\text{cris}}_{\mathbb{Q}_p}(X_\eta))$ ne s'applique pas en général aux $X$ de dimension supérieure (par exemple, $X = \mathbb{P}^1_{\mathbb{Z}_p}$). Cela est dû à un défaut de pleine fidélité, mis en évidence par des groupes de cohomologie syntomique non nuls $H^2_{\text{Syn}}$ qui ne correspondent pas aux extensions dans la catégorie des systèmes locaux cristallins.

4. Équivalence pour les schémas propres (Théorème B) :
   Pour $X$ lisse et propre sur $\text{Spf } \mathcal{O}_K$, l'article prouve une équivalence :
   $$\text{Perf}(X_{\text{Syn}})[1/p] \xrightarrow{\sim} \text{Perf}^{\text{adm}}_{f\text{Isoc}_\varphi}(X)$$
   Ici, $\text{Perf}^{\text{adm}}_{f\text{Isoc}_\varphi}(X)$ est la catégorie des complexes parfaits d'isocristaux filtrés admissibles $F$. Cette catégorie est définie via un carré fibré de Beilinson impliquant le site cristallin de la fibre spéciale et le stack de de Rham de la fibre générique. La condition « admissible » garantit que les faisceaux de cohomologie correspondent aux systèmes locaux cristallins.

5. Calculs cohomologiques :
   L'article fournit un calcul cohomologique montrant que pour $X = \text{Spf } \mathcal{O}_K$, la cohomologie syntomique $H^i_{\text{Syn}}(\mathcal{O}_K, E)[1/p]$ s'annule pour $i \geq 2$ et est isomorphe au groupe de Selmer de Bloch-Kato (ou aux groupes d'extensions dans les représentations cristallines) pour $i=1$. Cette annulation est cruciale pour établir l'équivalence dans le cas d'un point et dans le cas propre.

Portée et affirmations
L'article prétend résoudre la question de savoir si le stack syntomique de Bhatt-Lurie fournit une correspondance de Riemann-Hilbert dérivée pour les schémas formels $p$-adiques.

• Il confirme que, bien que l'équivalence dérivée naïve échoue pour un $X$ général, une caractérisation précise existe via les faisceaux réflexifs.
• Il généralise avec succès l'équivalence entre les complexes parfaits syntomiques et les représentations cristallines à la catégorie d'isogénie pour les schémas propres lisses, mais nécessite que la catégorie cible soit affinée en isocristaux filtrés admissibles plutôt que simplement la catégorie dérivée des systèmes locaux cristallins.
• Ce travail comble le fossé entre l'approche prismatique/stacky (Bhatt-Scholze, Bhatt-Lurie) et la théorie classique des isocristaux filtrés $F$ (Colmez-Fontaine), offrant un cadre unifié pour l'étude des systèmes locaux cristallins sur les schémas formels $p$-adiques.

L'auteur note explicitement que les résultats reposent sur le fait que $X$ soit lisse et quasi-compact (ou propre) et que l'interprétation des catégories d'isogénie nécessite de la prudence lorsque $X$ n'est pas quasi-compact. L'article ne prétend pas résoudre le problème pour les schémas non lisses ni fournir une description de l'image essentielle sans inversion de $p$ (ce qui est laissé comme travail futur).