Primes in LCM recurrences

1. Problématique et Contexte

L'article étudie une récurrence arithmétique basée sur le Plus Petit Commun Multiple (PPCM) (LCM), conçue comme un analogue multiplicatif de la célèbre récurrence de Rowland (2008) basée sur le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD).

• La récurrence de Rowland : $a_1 = 7$, $a_n = a_{n-1} + \gcd(n, a_{n-1})$. Les différences premières $a_n - a_{n-1}$ sont toujours égales à 1 ou à un nombre premier.
• La variante LCM étudiée : $a_1 = 1$, $a_n = a_{n-1} + \text{lcm}(n, a_{n-1})$.
  L'auteur s'intéresse aux incréments multiplicatifs définis par :
  $$b_n = \frac{a_n}{a_{n-1}} - 1 = \frac{n}{\gcd(n, a_{n-1})}$$
  La séquence des premiers termes de $b_n$ est : $2, 1, 2, 5, 1, 7, 1, 1, 5, 11, \dots$

Conjecture Principale (Conjecture 1.1) : Pour tout $n \ge 2$, $b_n \in \{1\} \cup \mathbb{P}$ (c'est-à-dire que $b_n$ est soit 1, soit un nombre premier).

La difficulté fondamentale : Contrairement à la version PGCD, la version PPCM présente une accumulation globale. Le terme $a_{n-1}$ est le produit de tous les incréments précédents ($a_{n-1} = \prod_{k=2}^{n-1} (1+b_k)$). Une preuve pointwise (terme à terme) de la conjecture exigerait de connaître la distribution des nombres premiers dans les progressions arithmétiques avec une précision telle qu'elle équivaudrait à prouver le théorème de Linnik avec une constante $L=2$, ce qui est actuellement hors de portée (la meilleure borne connue est $L \le 5$).

2. Méthodologie : Le Cadre « Companion-Sieve »

Pour contourner la difficulté de l'analyse $p$-adique exacte de $a_{n-1}$ (qui dépend de l'histoire complète de la séquence), l'auteur développe une méthode de relaxation appelée cadre « Companion-Sieve ».

1. Isolation des étapes primaires : L'auteur identifie un sous-produit déterministe de $a_{n-1}$ provenant uniquement des indices premiers. Pour tout nombre premier $q \ge 5$, il est prouvé que $\gcd(q, a_{q-1}) = 1$, donc $b_q = q$. Cela garantit que le facteur $(q+1)$ est toujours présent dans $a_{q}$.
2. Construction de stocks déterministes : On définit un « stock » $C_{n-1}$ comme le produit des $(q+1)$ pour les premiers $q \le n-1$. Puisque $C_{n-1}$ divise $a_{n-1}$, on peut majorer $b_n$ par une quantité plus simple :
   $$B_n^{(P)} = \frac{n}{\gcd(n, C_{n-1})}$$
3. Relaxation vers le comptage de « 1-hit » : Pour rendre le problème traitable, on oublie les puissances supérieures des facteurs premiers dans $C_{n-1}$ et on ne compte que si un premier $p$ divise au moins un $(q+1)$. On définit le déficit $\delta_p^{(1)}(n)$ comme la différence entre la valuation $p$-adique de $n$ et le nombre de premiers $q < n$ tels que $q \equiv -1 \pmod p$.
   $$B_n^{(1)} = \prod_p p^{\delta_p^{(1)}(n)}$$
   On a la chaîne de divisibilité : $b_n \mid B_n^{(P)} \mid B_n^{(1)}$.
4. Critère de déficit : Si la somme totale des déficits $\sum_p \delta_p^{(1)}(n) \le 1$, alors $b_n$ ne peut être que 1 ou un premier.

L'analyse se transforme ainsi en un problème de distribution moyenne des nombres premiers dans les progressions arithmétiques, résolvable par le théorème de Bombieri-Vinogradov.

3. Résultats Principaux

A. Théorème de Densité Un (Théorème 1.2)

L'ensemble des entiers $n$ pour lesquels la conjecture $b_n \in \{1\} \cup \mathbb{P}$ est vraie a une densité asymptotique de 1.

• Preuve : En utilisant le théorème de Bombieri-Vinogradov, l'auteur montre que pour presque tous les $n$, le déficit total est nul ou égal à 1. Les exceptions correspondent à des entiers ayant des facteurs premiers « mauvais » (mauvaise distribution) ou des facteurs carrés de grands premiers, qui forment un ensemble de densité nulle.

B. Réduction Effective Finie (Théorème 1.3)

Pour tout seuil $P_0 \ge 2$, il existe une borne calculable $N^*(P_0)$ telle que pour tout $n \ge N^*(P_0)$, tout contre-exemple potentiel à la conjecture ne peut contenir que des facteurs premiers strictement supérieurs à $P_0$.

• Cela réduit le problème de la conjecture à l'étude des grands facteurs premiers, éliminant les obstructions liées aux petits nombres premiers.

C. Variante $K=2$ et Jumeaux (Théorèmes 1.4 et 1.5)

L'auteur étudie une variante : $x_1 = 1$, $x_n = 2x_{n-1} + \text{lcm}(n, x_{n-1})$, avec $c_n = n/\gcd(n, x_{n-1})$.

• Détection des jumeaux : Il est prouvé que sous l'hypothèse que $c_n$ est toujours 1 ou premier, les indices où $c_q = 1$ (pour $q$ premier) correspondent exactement aux plus grands membres de paires de nombres premiers jumeaux (sauf pour la paire (5, 7)).
• Structure 2-adique : La séquence présente une structure en « escalier » pour la valuation 2-adique, et le nombre 2 apparaît infiniment souvent.
• Densité conditionnelle : Un théorème de densité 1 est établi pour cette variante, sous réserve d'une hypothèse sur le comportement aux indices premiers et d'une borne de type Brun pour les jumeaux dans les progressions arithmétiques.

4. Obstacles Résiduels et Nouvelles Conjectures

L'article identifie les obstacles précis empêchant une preuve complète (pointwise) de la conjecture pour tout $n$ :

1. Facteurs carrés de grands premiers : Liés à la distribution des premiers $q \equiv -1 \pmod p$ sous $p^2$.
2. Produits de deux grands premiers distincts.
3. Moduli « mauvais » individuels : Des premiers $p$ qui, bien que bien distribués en moyenne, échouent individuellement pour certains $n$.

Pour surmonter ces obstacles, l'auteur propose deux nouvelles conjectures :

• Conjecture 7.2 (Deuxième premier dans la fenêtre carrée) : Pour tout $p \ge 17$, il existe au moins deux nombres premiers $q \equiv -1 \pmod p$ avec $q < p^2$. Cela éliminerait le cas des facteurs carrés.
• Conjecture 7.3 (Équidistribution sûre aux diviseurs) : Une hypothèse de contrôle de l'erreur de distribution des premiers aux diviseurs de $n$ (plus forte que Bombieri-Vinogradov, mais plus faible que la conjecture de Montgomery).

Si ces conjectures sont vraies (ou si l'on assume la conjecture d'Elliott-Halberstam à un niveau $\vartheta > 1/2$), la conjecture principale serait démontrée pour tout $n$ suffisamment grand.

5. Signification et Impact

• Théorie des nombres : L'article démontre que des récurrences arithmétiques simples peuvent encoder des structures profondes de la distribution des nombres premiers (théorème de Linnik, paires de jumeaux).
• Méthodologie : L'approche « Companion-Sieve » offre une nouvelle voie pour traiter des problèmes de récurrences dépendant de l'histoire, en transformant un problème $p$-adique complexe en un problème de densité moyenne gérable.
• Lien avec les jumeaux : La variante $K=2$ fournit un mécanisme algorithmique potentiel pour détecter les nombres premiers jumeaux, reliant directement une séquence récurrente à l'une des conjectures les plus célèbres de la théorie des nombres.
• Limites actuelles : Le travail met en lumière la barrière actuelle de la théorie analytique des nombres (la constante de Linnik) et propose des conjectures intermédiaires qui, si prouvées, débloqueraient la situation.

En résumé, Cloitre prouve que la conjecture est vraie pour « presque tous » les entiers et réduit le problème restant à des questions de distribution fine des nombres premiers, tout en révélant une connexion surprenante avec les nombres premiers jumeaux via une variante de la récurrence.