The trace Cayley-Hamilton theorem

1. Problématique et Contexte

Le papier s'inscrit dans le domaine de l'algèbre linéaire sur des anneaux commutatifs unitaires $K$. Il aborde deux théorèmes fondamentaux concernant les matrices carrées $n \times n$ :

1. Le théorème de Cayley-Hamilton classique : Si $\chi_A(t) = \det(tI_n - A)$ est le polynôme caractéristique d'une matrice $A$, alors $\chi_A(A) = 0$.
2. Le théorème de Cayley-Hamilton « trace » (Trace Cayley-Hamilton) : C'est le résultat central de l'article. Il établit une relation entre les coefficients du polynôme caractéristique et les traces des puissances de la matrice.

Soit $\chi_A(t) = \sum_{i=0}^n c_{n-i} t^i$. Le théorème affirme que pour tout entier $k \in \mathbb{N}$ :
$$k c_k + \sum_{i=1}^k \text{Tr}(A^i) c_{k-i} = 0$$
(avec la convention $c_j = 0$ si $j < 0$).

Bien que ce résultat soit connu (notamment pour les corps via les identités de Newton et les valeurs propres), il est souvent difficile de trouver une preuve élémentaire et complète valable pour un anneau commutatif arbitraire sans recourir aux valeurs propres (qui n'existent pas toujours dans un anneau général) ou à des méthodes avancées comme les algèbres universelles. L'objectif de l'auteur est de fournir une preuve directe, constructive et accessible de ce théorème, ainsi que d'explorer d'autres propriétés des matrices adjointes (adjugates).

2. Méthodologie

L'auteur utilise une stratégie algébrique élégante et puissante, qu'il appelle la « stratégie $tI_n + A$ » (ou « trick $tI_n + A$ »). Cette méthode repose sur les principes suivants :

• Introduction d'une variable indéterminée : Au lieu de travailler directement avec la matrice $A \in K^{n \times n}$, l'auteur considère la matrice polynomiale $\tilde{A} = tI_n + A$ dans l'anneau des matrices $(K[t])^{n \times n}$.
• Régularité du déterminant : Une propriété clé est que le déterminant $\det(tI_n + A)$ est un polynôme unitaire de degré $n$ en $t$. Dans l'anneau de polynômes $K[t]$, tout polynôme unitaire est un élément régulier (non diviseur de zéro). Cela permet de « simplifier » (diviser) par ce déterminant dans des égalités, une opération qui serait impossible si le déterminant de $A$ était un diviseur de zéro dans $K$.
• Homomorphisme d'évaluation : Une fois les identités démontrées dans l'anneau $K[t]$ (où les éléments réguliers permettent des manipulations algébriques sûres), l'auteur applique l'homomorphisme d'évaluation $\varepsilon : K[t] \to K$ défini par $\varepsilon(P) = P(0)$. Cela permet de « revenir » à la matrice originale $A$ tout en conservant les identités établies.
• Développement du polynôme caractéristique et de l'adjointe : L'auteur développe l'adjointe de $tI_n - A$ sous la forme d'un polynôme matriciel $\text{adj}(tI_n - A) = \sum_{k=0}^{n-1} t^k D_k$, où les $D_k$ sont des matrices constantes. Cette décomposition est le cœur de la preuve du théorème de Cayley-Hamilton classique et est réutilisée pour le théorème de la trace.
• Dérivations : Pour relier les coefficients du polynôme caractéristique aux traces, l'auteur utilise la dérivation formelle $\partial$ sur $K[t]$ et la formule de Jacobi pour la dérivée d'un déterminant : $\partial(\det M) = \text{Tr}(\partial M \cdot \text{adj } M)$.

3. Contributions Clés et Résultats Principaux

A. Preuve du théorème de Cayley-Hamilton (Section 3.4)

L'auteur présente une preuve historique (remontant à Buchheim, 1884) mais structurée de manière moderne. En utilisant le développement de $\text{adj}(tI_n - A)$, il montre que les coefficients du polynôme caractéristique satisfont une relation de récurrence avec les puissances de $A$, conduisant directement à $\chi_A(A) = 0$.

B. Preuve du théorème de Cayley-Hamilton « trace » (Section 3.7)

C'est la contribution majeure de l'article. L'auteur démontre que :
$$\partial \chi_A = \text{Tr}(\text{adj}(tI_n - A))$$
En comparant les coefficients de cette égalité avec ceux du développement de $\text{adj}(tI_n - A)$, il obtient la relation liant les traces $\text{Tr}(A^i)$ aux coefficients $c_j$. Cela permet de prouver l'identité :
$$k c_k + \sum_{i=1}^k \text{Tr}(A^i) c_{k-i} = 0$$
Cette preuve est valable pour tout anneau commutatif, sans hypothèse de corps ni d'existence de valeurs propres.

C. Applications aux matrices nilpotentes (Section 4)

En utilisant le théorème de la trace, l'auteur prouve un critère de nilpotence généralisé :

• Si $\text{Tr}(A^i) = 0$ pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, alors $n! A^n = 0$.
• Si $K$ est une $\mathbb{Q}$-algèbre (contient les rationnels), alors $A^n = 0$.
  Cela répond à une question ouverte sur les conditions de nilpotence sur les anneaux commutatifs.

D. Propriétés de la matrice adjointe (Section 5)

L'article explore en profondeur les propriétés de l'adjointe ($\text{adj } A$) en utilisant la stratégie $tI_n + A$ :

• Produit : $\text{adj}(AB) = \text{adj}(B)\text{adj}(A)$.
• Adjoint de l'adjoint : $\text{adj}(\text{adj } A) = (\det A)^{n-2} A$ (pour $n \ge 2$).
• Polynôme en $A$ : L'adjointe de $A$ peut s'exprimer comme un polynôme en $A$ dont les coefficients dépendent des coefficients du polynôme caractéristique.
• Théorème de Jacobi : Une preuve des relations entre les mineurs de $\text{adj } A$ et ceux de $A$.
• Déterminants de matrices par blocs : Démonstration de formules pour les déterminants de matrices blocs de la forme $\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}$ lorsque $A$ et $C$ commutent, généralisant le théorème de Schur.

E. Résultats supplémentaires (Section 6)

• Théorème d'Almkvist : Une esquisse de preuve montrant que si $A^{k+1}=0$, alors $(\text{Tr } A)^{nk+1} = 0$.
• Trace en caractéristique $p$ : La propriété $\text{Tr}(A^p) = (\text{Tr } A)^p$ pour un anneau de caractéristique $p$.

4. Signification et Impact

• Accessibilité : L'article rend le théorème de Cayley-Hamilton « trace » accessible à un public large d'algébristes, en évitant les outils lourds de la théorie des représentations ou des algèbres universelles.
• Unification des preuves : Il démontre que la même technique élémentaire (l'ajout de $tI_n$) suffit à prouver à la fois le théorème de Cayley-Hamilton classique, le théorème de la trace, et de nombreuses identités sur les déterminants et les adjointes.
• Généralité : Toutes les preuves sont valables sur des anneaux commutatifs arbitraires, ce qui est crucial pour l'algèbre commutative et la géométrie algébrique où les anneaux ne sont pas nécessairement des corps.
• Pédagogie : Le papier sert de référence expositive pour les techniques de manipulation de matrices polynomiales et l'utilisation des éléments réguliers pour contourner les problèmes de diviseurs de zéro.

En résumé, ce papier est une contribution significative à la littérature sur l'algèbre linéaire abstraite, offrant des preuves élégantes et unifiées pour des résultats classiques et moins connus, tout en illustrant la puissance de la méthode de déformation polynomiale.