Measuring birational derived splinters

1. Problématique et Contexte

L'article s'inscrit dans l'étude des singularités des variétés algébriques via des méthodes catégoriques, en particulier l'utilisation des catégories dérivées. Le problème central est de généraliser et de quantifier la notion de singularité rationnelle au-delà du cas des variétés sur un corps de caractéristique zéro.

• Concepts de base :

  • Un schéma $X$ est un splinter si le morphisme naturel $\mathcal{O}_X \to f_*\mathcal{O}_Y$ se scinde pour tout morphisme fini surjectif $f: Y \to X$.
  • Un splinter dérivé généralise cela aux morphismes propres surjectifs en utilisant le foncteur dérivé $Rf_*$. En caractéristique zéro, être un splinter dérivé équivaut à avoir des singularités rationnelles.
  • Un splinter dérivé birationnel (introduit par Kovács) est un schéma $X$ tel que $\mathcal{O}_X \to Rf_*\mathcal{O}_Y$ se scinde pour tout morphisme propre et birationnel $f: Y \to X$.

• Le défi : Bien que ces notions soient bien comprises en caractéristique zéro, leur comportement en caractéristique positive est plus complexe (par exemple, une courbe elliptique en caractéristique positive est un splinter dérivé birationnel mais pas un splinter dérivé). Il manque un outil pour mesurer quantitativement l'échec d'un schéma à être un splinter dérivé birationnel, c'est-à-dire pour quantifier la "gravité" de la singularité.

2. Méthodologie

Les auteurs utilisent des techniques avancées de théorie des catégories triangulées, spécifiquement la notion de génération et d'invariants de niveau.

• Génération dans les catégories triangulées :
  Soit $\mathcal{T}$ une catégorie triangulée et $\mathcal{S} \subseteq \mathcal{T}$ une sous-catégorie. On note $\langle \mathcal{S} \rangle_n$ la sous-catégorie engendrée par $\mathcal{S}$ en utilisant des décalages, des sommes directes, des facteurs directs et au plus $n$ cônes (cones).
• Niveau (Level) :
  Le niveau d'un objet $E \in \mathcal{T}$ par rapport à $\mathcal{S}$, noté $\text{level}_{\mathcal{S}}(E)$, est le plus petit entier $N$ tel que $E \in \langle \mathcal{S} \rangle_N$. Si un tel $N$ n'existe pas, le niveau est infini.
• L'invariant clé :
  Pour un schéma noethérien $X$, les auteurs définissent l'invariant $\mu_{\text{bds}}(X)$ comme le supremum des niveaux de $\mathcal{O}_X$ par rapport aux catégories dérivées des images directes $Rf_* D^b_{\text{coh}}(Y)$, où $f: Y \to X$ parcourt tous les morphismes propres et birationnels :
  $$\mu_{\text{bds}}(X) := \sup \{ \text{level}_{Rf_* D^b_{\text{coh}}(Y)}(\mathcal{O}_X) \mid f: Y \to X \text{ propre et birationnel} \}$$
  • Interprétation : $X$ est un splinter dérivé birationnel si et seulement si $\mu_{\text{bds}}(X) = 1$. Plus la valeur est élevée, plus la singularité est "loin" d'être rationnelle (au sens dérivé birationnel).

3. Contributions Clés et Résultats Principaux

A. Caractérisation et Finitude

• Lemme 1.2 : Le morphisme $\mathcal{O}_X \to Rf_*\mathcal{O}_Y$ se scinde si et seulement si $\text{level}_{Rf_* D^b_{\text{coh}}(Y)}(\mathcal{O}_X) = 1$.
• Théorème 3.4 : Si $X$ admet une résolution des singularités $f: \tilde{X} \to X$, alors $\mu_{\text{bds}}(X)$ est fini et indépendant du choix de la résolution. Il est égal au niveau de $\mathcal{O}_X$ par rapport à $Rf_* D^b_{\text{coh}}(\tilde{X})$.
• Proposition 3.3 : L'invariant peut être calculé en ne considérant que les éclatements (blowups) le long d'idéaux non nuls, grâce à des résultats de domination de morphismes birationnels.

B. Comportement Local et Global

• Comportement local (Proposition 3.12) : Pour un schéma affine normal $X = \text{Spec}(R)$ admettant une résolution, l'invariant global est le supremum des invariants locaux :
  $$\mu_{\text{bds}}(X) = \sup_{p \in X} \{ \mu_{\text{bds}}(\mathcal{O}_{X,p}) \}$$
  Cela établit une compatibilité avec la localisation, bien que la propriété d'être un splinter dérivé birationnel ne soit pas toujours locale en général.
• Invariance par fibrés vectoriels (Corollaire 3.8) : Si $E$ est un fibré vectoriel sur $X$, alors $\mu_{\text{bds}}(X) = \mu_{\text{bds}}(\mathbb{P}_X(E))$.

C. Stabilité sous Opérations Géométriques (Corps parfaits)

Les auteurs étudient le comportement de $\mu_{\text{bds}}$ sous changement de base et produits tensoriels, en supposant l'existence de résolutions de singularités (ce qui est garanti en caractéristique zéro et conjecturé/assumé dans certains cas en caractéristique positive).

• Théorème 1.4 / Proposition 4.3 : Pour une extension de corps $L/k$, $\mu_{\text{bds}}(X) \geq \mu_{\text{bds}}(X \times_k L)$. Si $L/k$ est fini, l'égalité tient.
• Théorème 4.6 (Produits) : Pour deux schémas propres $X$ et $Y$ sur un corps parfait $k$ admettant des résolutions :
  $$\max\{\mu_{\text{bds}}(X), \mu_{\text{bds}}(Y)\} \leq \mu_{\text{bds}}(X \times_k Y) \leq \mu_{\text{bds}}(X) \cdot \mu_{\text{bds}}(Y)$$
• Corollaire 1.5 & 4.7 : Ces inégalités permettent de caractériser la propriété de splinter dérivé birationnel :
  • $Y$ est un splinter dérivé birationnel si et seulement si $Y \times_k \bar{k}$ l'est (où $\bar{k}$ est la clôture algébrique).
  • $Y_1$ et $Y_2$ sont des splinters dérivés birationnels si et seulement si $Y_1 \times_k Y_2$ l'est.

4. Signification et Impact

1. Nouvel outil de mesure : L'article introduit un invariant numérique concret ($\mu_{\text{bds}}$) qui quantifie la déviation par rapport à la propriété de splinter dérivé birationnel, comblant un vide dans la littérature où ces propriétés étaient souvent traitées de manière binaire (vrai/faux).
2. Unification des caractéristiques : Contrairement aux singularités rationnelles classiques qui nécessitent des résultats d'annulation spécifiques à la caractéristique zéro, cette approche catégorique fonctionne en caractéristique zéro, positive et mixte.
3. Résultats nouveaux en caractéristique positive : Les résultats sur la stabilité par produit et changement de base (Corollaire 1.5) sont nouveaux en caractéristique positive. Ils offrent une alternative aux techniques classiques (comme les critères de scindage de Kovács ou le théorème de Grauert-Riemenschneider) qui ne sont pas disponibles dans ce contexte.
4. Lien avec la géométrie dérivée : L'article démontre la puissance des méthodes de génération de catégories triangulées pour résoudre des problèmes géométriques profonds sur les singularités, reliant la théorie des catégories (niveaux de génération) à la géométrie algébrique (résolutions de singularités, éclatements).

En résumé, ce travail fournit un cadre robuste pour analyser et comparer les singularités des schémas via leurs catégories dérivées, offrant des critères précis de stabilité et de localité pour une classe importante de singularités généralisant les singularités rationnelles.