Ekedahl-Oort types of $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-covers in characteristic $2$

1. Problématique et Contexte

L'article s'intéresse à l'étude des types d'Ekedahl-Oort (qui classifient les schémas en groupes de torsion $p$-d'ordre des variétés abéliennes, ici les jacobiennes de courbes) pour les revêtements galoisiens $\pi : Y \to X$ de groupe $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ en caractéristique 2.

Le problème central est de déterminer comment le type d'Ekedahl-Oort de la courbe revêtue $Y$ dépend de celui de la courbe de base $X$ et des invariants de ramification de $\pi$.

• Des résultats classiques comme la formule de Riemann-Hurwitz (genre) et le théorème de Deuring-Shafarevich (p-rang) établissent des relations exactes.
• Cependant, pour des invariants plus fins comme le nombre $a$ ou les pentes du polygone de Newton, de telles formules exactes n'existent généralement pas. On cherche donc des bornes ou des déterminations complètes dans des cas spécifiques.
• La question est particulièrement complexe car le type d'Ekedahl-Oort encode la structure du module de Dieudonné $H^1_{dR}(Y)$ muni des opérateurs de Frobenius ($F$) et de Verschiebung ($V$).

2. Méthodologie et Outils Techniques

Les auteurs développent une approche novatrice basée sur la cohomologie de de Rham algébrique et une généralisation des différentielles de deuxième espèce.

A. Différentielles de deuxième espèce améliorées (Enhanced Differentials)

En caractéristique $p$, la théorie classique des différentielles de deuxième espèce (introduite par Rosenlicht) échoue à capturer entièrement la cohomologie de de Rham car la dérivée d'une puissance $p$-ième est nulle ($d(x^p)=0$).

• Les auteurs introduisent la notion de différentielle de deuxième espèce améliorée : un couple $(\omega, (f_Q)_{Q \in S})$ où $\omega$ est une différentielle méromorphe et $f_Q$ est un choix d'une primitive locale pour la partie polaire de $\omega$ en chaque pôle $Q$.
• Cette construction permet de représenter les classes de cohomologie $H^1_{dR}(X)$ comme l'espace de ces différentielles améliorées modulo les différentielles globalement exactes.
• Cela permet de travailler directement avec les différentielles plutôt que de passer par une résolution de Čech, facilitant l'analyse des opérateurs $F$ et $V$.

B. Décomposition du Module de Dieudonné

Pour une courbe $Y$, l'espace $H^1_{dR}(Y)$ se décompose en trois sous-espaces stables sous l'action de $F$ et $V$ :
$$H^1_{dR}(Y) = U \oplus Z \oplus L$$

• $U$ : $V$ est bijectif, $F$ est nul (partie ordinaire).
• $Z$ : $F$ est bijectif, $V$ est nul.
• $L$ : $F$ et $V$ sont nilpotents (partie "locale" ou "supersingulière").
  Le type d'Ekedahl-Oort est entièrement déterminé par la structure de $L$ et l'interaction du produit symplectique avec les opérateurs.

C. Construction de bases explicites

Dans le cas des revêtements $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, les auteurs construisent une famille explicite de différentielles améliorées $\{\tilde{\omega}_{i,j}\}$ à partir de différentielles sur la courbe de base $X$. Ils étudient l'action de $V$ sur ces éléments et le produit symplectique associé.

3. Résultats Principaux

Les résultats sont divisés en deux cas selon la nature de la courbe de base $X$.

Cas 1 : Courbe de base $X$ ordinaire

Si $X$ est ordinaire (ce qui implique que son type d'Ekedahl-Oort est trivial, déterminé uniquement par son genre), les auteurs obtiennent une détermination complète du type d'Ekedahl-Oort de $Y$.

• Théorème 1.2 : Le module de Dieudonné de $Y$ est isomorphe à la somme directe du module de Dieudonné d'une courbe ordinaire de rang $f_Y$ et de modules locaux associés à chaque point de ramification.
  $$D(\text{Jac}(Y)[2]) \simeq M_{2g_X - 1 + m}^{\text{ord}} \oplus \bigoplus_{i=1}^m M_{d_i}$$
  où $d_i$ est le "break" de ramification au point $P_i$.
• Conséquence : Le type d'Ekedahl-Oort de $Y$ est uniquement déterminé par le genre de $X$ et les invariants de ramification $d_i$. Il ne dépend pas de la position des points de ramification ni des détails géométriques de $X$ au-delà de son caractère ordinaire.
• Application : Cela permet de construire des familles de dimension positive de courbes de genre $g$ ayant un type d'Ekedahl-Oort constant (intersection improbable dans l'espace de modules).

Cas 2 : Courbe de base $X$ non ordinaire

Lorsque $X$ n'est pas ordinaire (par exemple, une courbe supersingulière), le type d'Ekedahl-Oort de $Y$ n'est plus déterminé uniquement par les invariants de ramification. Il existe une variation.

• Exemples (Section 5) : Les auteurs montrent, via des exemples calculatoires sur une courbe elliptique supersingulière, que deux revêtements avec le même invariant de ramification $d$ peuvent avoir des types d'Ekedahl-Oort différents, même si leurs structures de $k[V]$-modules sur les différentielles régulières sont identiques. La variation provient de l'interaction subtile entre l'opérateur $V$ et le produit symplectique global.
• Théorèmes de bornes (Section 6) : Bien qu'une détermination exacte soit impossible, les auteurs établissent des bornes précises sur le type final (final type) de $Y$.
  • Ils définissent des fonctions $L(X, \pi, w)$ et $U(X, \pi, w)$ qui encadrent la dimension des sous-espaces $w(H^1_{dR}(Y))$ pour tout mot $w$ en $V$ et $\perp$ (complément symplectique).
  • Théorème 1.7 (Cas d'un point de ramification) : Pour un revêtement ramifié en un seul point d'invariant $d$, l'erreur entre le type final réel et une estimation basée sur les invariants locaux est logarithmique en fonction de $d$.
    $$|\nu_l - (f_Y + \lfloor \frac{l-f_Y}{2} \rfloor)| \leq C \cdot l_X \cdot \lceil \log_2(d-1) \rceil$$
    où $l_X = g_X - f_X$ est le rang local de $X$.

4. Contributions Clés et Signification

1. Théorie des différentielles améliorées : L'introduction des "enhanced differentials of the second kind" est une contribution méthodologique majeure. Elle offre un cadre robuste pour étudier la cohomologie de de Rham et les opérateurs de Cartier en caractéristique positive, évitant les complexités des résolutions de Čech.
2. Principe local-global partiel : L'article démontre un principe de type "local-global" pour les types d'Ekedahl-Oort dans le cas ordinaire : le type global est une somme directe de contributions locales (les breaks de ramification) et de la contribution globale ordinaire.
3. Limites de la détermination : L'article clarifie les limites de ce principe. En caractéristique 2, si la base est ordinaire, la ramification suffit. Si la base est non ordinaire, la position des points de ramification (via les coefficients des développements locaux) introduit une indétermination, mais celle-ci est contrôlée et bornée.
4. Nouveaux exemples de strates : Les résultats permettent d'identifier des familles de courbes avec des types d'Ekedahl-Oort constants, qui sont des "intersections improbables" (unlikely intersections) dans l'espace de modules des variétés abéliennes, car leur codimension dépasse souvent la dimension de l'espace de modules des courbes.

Conclusion

Cet article résout complètement le problème de la détermination du type d'Ekedahl-Oort pour les revêtements $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ en caractéristique 2 lorsque la courbe de base est ordinaire. Pour le cas général, il fournit des bornes asymptotiques précises, montrant que la variation du type d'Ekedahl-Oort par rapport aux invariants de ramification est faible (logarithmique) lorsque le degré de ramification augmente. Ces résultats combinent profondément la théorie des modules de Dieudonné, la géométrie des courbes et l'analyse des différentielles en caractéristique positive.