Uniform irreducibility of Galois action on the $\ell$-primary part of Abelian $3$-folds of Picard type

1. Problématique et Contexte

Le papier s'inscrit dans la lignée des travaux de Manin (1976) sur la bornitude uniforme du torsion $\ell$-primaire pour les courbes elliptiques. Manin a démontré que, pour un corps de nombres $k$ et un nombre premier $\ell$, il existe un entier $r$ tel que, pour toute courbe elliptique $E$ sans multiplication complexe (CM) sur $k$, le groupe $E[\ell^r]$ ne contient pas de droite $k$-rationnelle (c'est-à-dire que l'image du groupe de Galois dans $GL(2, \mathbb{Z}/\ell^r\mathbb{Z})$ n'est pas contenue dans un sous-groupe de Borel).

Ce travail généralise ce résultat aux 3-folds abéliens de type Picard (variétés abéliennes de dimension 3 à multiplication par un corps quadratique imaginaire $M$). L'objectif est d'établir une irréductibilité uniforme de l'action de Galois sur le $\ell$-torsion pour des familles de dimension 2 de telles variétés.

Définitions clés :

• Un 3-fold de type Picard sur $k \supset M$ est une variété abélienne principalement polarisée de dimension 3 munie d'une action de l'anneau des entiers $\mathcal{O}_M$.
• Le problème consiste à montrer qu'il existe un entier $r$ (dépendant de $k, \ell$ et d'un ensemble fini de places) tel que pour tout 3-fold non-CM $A$, $A[\ell^r]$ ne contient pas de drapeau complet $k$-rationnel (une suite $0 \subset L \subset P \subset A[\ell^r]$ où $L$ est une droite et $P$ un plan, tous deux stables par Galois).

2. Méthodologie

La preuve repose sur une approche géométrique et automorphe sophistiquée, combinant la théorie des représentations galoisiennes, la géométrie des surfaces modulaires de Picard et la conjecture de Bombieri-Lang.

A. Géométrie des Surfaces Modulaires de Picard

Les 3-folds de type Picard sont paramétrés par des surfaces de Shimura de type Picard ($Y_{\tilde{K}}$), qui sont des quotients de l'espace hermitien symétrique $\mathcal{H}$ par des sous-groupes de congruence $\Gamma$ d'un groupe unitaire $U(2,1)$.

• Le problème de l'existence de drapeaux rationnels est traduit par l'existence de points rationnels sur des sous-variétés spécifiques de ces surfaces (correspondant à des niveaux de congruence $\Gamma_0(\ell^r)$).
• L'approche vise à montrer que les points rationnels ne sont pas denses au sens de Zariski, en utilisant la conjecture de Bombieri-Lang (les points rationnels d'une variété de type général sont contenus dans une sous-variété propre).

B. Irregularité et Formes Automorphes (Le cœur technique)

Pour appliquer la conjecture de Bombieri-Lang, il faut prouver que les surfaces de Picard considérées sont de type général. Une condition suffisante est que leur irrégularité $q(X) = \dim H^1(X, \mathcal{O}_X)$ soit suffisamment grande (ici $\ge 3$).

• Défi : Les sous-groupes de congruence $\Gamma_0(\ell^r)$ ne sont pas "propres" (neat) et contiennent de la torsion, ce qui empêche l'utilisation directe des méthodes précédentes (basées sur des formes holomorphes globales).
• Solution : Les auteurs construisent des formes automorphes endoscopiques non-génériques (représentations non-temperées) sur le groupe unitaire $U(3)$.
  • Ils utilisent la théorie des paquets d'Arthur de Rogawski.
  • Ils identifient des représentations non-temperées $\pi_n$ dans des paquets locaux attachés à des caractères de Hecke $\lambda$.
  • Résultat clé de la section 1 : Ils démontrent l'existence de vecteurs invariants sous des sous-groupes d'Iwahori profonds ($K''_0(\ell^r)$) pour ces représentations non-temperées. Cela nécessite des calculs précis de coefficients de matrice et de sommes exponentielles (via les opérateurs d'entrelacement et les modules de Jacquet).
  • Cette construction permet de prouver que l'irrégularité $q(Y^*_{\Gamma})$ est au moins égale à 3 (Théorème 3.5), ce qui implique que la surface est de type général (ou elliptique/ruled, mais les cas pathologiques sont exclus par des arguments de discriminant).

C. Réduction aux Courbes et Théorèmes de Cadoret-Tamagawa

Une fois l'irrégularité établie, la conjecture de Bombieri-Lang implique que les points rationnels sont contenus dans une sous-variété $Z$ (union de points et de courbes).

• Les auteurs doivent traiter les courbes $C \subset Z$.
• Ils utilisent un lemme crucial (Lemme 2.1) montrant l'absence de "réflexions complexes" dans le groupe fondamental, ce qui permet de construire une famille d'abeliennes sur $C$ (à l'exception de points singuliers).
• Sur cette famille de dimension 1, ils appliquent les résultats de Cadoret et Tamagawa sur la bornitude uniforme du torsion pour les familles de dimension 1. Cela garantit que l'image de Galois est "grande" (contient un sous-groupe de congruence) pour presque tous les points de la courbe.
• Les points restants (un nombre fini) sont traités individuellement via la conjecture de Mumford-Tate (connue pour les 3-folds).

D. Condition de Gross

Une condition technique subtile est introduite : la trivialité d'un caractère $\varepsilon_{A,D}$ associé à l'action projective de Galois sur les points de torsion aux places divisant le discriminant $D$. Cette condition, suggérée par Gross, est essentielle pour garantir que les surfaces modulaires ont une irrégularité non triviale (via l'Albanese) et pour sélectionner les bons caractères de Hecke dans les paquets d'Arthur.

3. Résultats Principaux

Le papier établit deux théorèmes majeurs :

Théorème A (Cas semi-stable) :
Soit $k$ un corps de nombres, $\ell$ un nombre premier inerte dans $M$, et $S$ un ensemble fini de places. Il existe un entier $r = r(\ell, k, S)$ tel que pour tout 3-fold de type Picard $A$ sur $k$ (non-CM) semi-stable hors de $S$, $A[\ell^r]$ ne contient pas de drapeau complet $k$-rationnel.

Théorème B (Résultat principal - Sans hypothèse de semi-stabilité) :
Soit $k$ un corps de nombres contenant $M$ et $\ell$ un nombre premier inerte dans $M$. Il existe un entier $r = r(\ell, k)$ tel que pour tout 3-fold de type Picard $A$ sur $k$ (non-CM) satisfaisant la condition $\varepsilon_{A,D} = 1$ (trivialité du caractère associé aux places divisant $D$), $A[\ell^r]$ ne contient pas de drapeau complet $k$-rationnel.

Note : Le Théorème A est une conséquence du Théorème B en passant à une extension quadratique appropriée $k'$ où la condition $\varepsilon_{A,D}$ devient automatiquement vraie grâce à la semi-stabilité.

4. Contributions Techniques Clés

1. Niveaux pour les représentations non-temperées : La section 1 fournit une analyse détaillée des invariants de sous-groupes d'Iwahori pour les représentations non-temperées de $U(3)$. C'est une avancée significative car la théorie des vecteurs nouveaux (New Vectors) classique ne s'applique pas aux représentations non-génériques.
2. Calculs de sommes exponentielles : La preuve de l'existence d'invariants pour les représentations ramifiées (Théorème 1.9) repose sur le calcul précis de sommes exponentielles finies liées aux opérateurs d'entrelacement, dépassant les estimations standards.
3. Application de la conjecture de Bombieri-Lang en dimension 2 : C'est le premier résultat de bornitude uniforme sur une base de dimension 2 (les surfaces de Picard), utilisant la géométrie des surfaces modulaires et la théorie des formes automorphes pour contourner les obstacles liés à la torsion des groupes de congruence.
4. Lien entre caractères de Gross et irrégularité : La connexion explicite entre les caractères canoniques de Gross, les nombres de racines globaux et la dimension de l'espace des formes holomorphes (irrégularité) est établie de manière constructive.

5. Signification et Impact

• Généralisation majeure : Ce travail étend le cadre de la bornitude uniforme de Galois au-delà des courbes elliptiques (dimension 1) et des familles de dimension 1, atteignant des familles de dimension 2.
• Nouveaux outils en théorie des nombres : La méthode combinant la théorie des paquets d'Arthur, l'analyse des représentations non-temperées et la géométrie arithmétique des surfaces de Shimura ouvre de nouvelles voies pour étudier les points rationnels sur des variétés de plus haute dimension.
• Résolution de cas ouverts : Il traite des cas où les surfaces modulaires ne sont pas "neat", résolvant des difficultés techniques qui bloquaient les approches précédentes (comme celles de Cadoret-Tamagawa pour les familles de dimension 1).
• Conjecture de Bombieri-Lang : Le papier fournit une vérification effective de la conjecture de Bombieri-Lang pour certaines surfaces de Picard de niveau élevé, en démontrant qu'elles sont de type général grâce à la construction de formes automorphes.

En résumé, ce papier représente une avancée profonde dans la compréhension de l'action de Galois sur les variétés abéliennes de dimension supérieure, en reliant des domaines apparemment distincts de la théorie des nombres (représentations galoisiennes, formes automorphes, géométrie arithmétique) pour résoudre un problème de bornitude uniforme.