Complete subvarieties in the projectivized strata of meromorphic differentials

Résumé technique : Sous-variétés complètes dans les strates projectivisées des différentielles méromorphes

Énoncé du problème
L'article traite de la question de savoir si les strates projectivisées de différentielles strictement méromorphes, notées $P\Omega M_g(\mu)$, contiennent des sous-variétés algébriques complètes de dimension positive. Ici, $\mu$ représente un tuple d'entiers dont la somme est $2g-2$, prescrivant les ordres des zéros et des pôles. S'il est connu que les strates de différentielles holomorphes (où $\mu$ possède des entrées non négatives) ne contiennent pas de telles sous-variétés, et que les strates non projectivisées de différentielles strictement méromorphes en sont également dépourvues (prouvé par des méthodes algébro-géométriques impliquant des classes de diviseurs), une preuve par la géométrie plate pour le cas projectivisé strictement méromorphe faisait auparavant défaut. Les auteurs visent à combler cette lacune en construisant une fonction analytique spécifique sur ces strates.

Méthodologie
Les auteurs emploient une approche de géométrie plate, utilisant les structures de surfaces de translation induites par les différentielles méromorphes. La méthodologie centrale consiste à construire une fonction strictement plurisubharmonique globalement définie sur les strates projectivisées $P\Omega M_g(\mu)$. Cela est réalisé en combinant deux fonctions distinctes :

1. La fonction de longueur ($\ell^{-2}$) : Introduite par Mondello, cette fonction mesure la longueur totale d'une base de connexions de selle courtes. Pour une base $B$ de l'homologie relative, $\ell^{-2}_B = \sum_{\gamma \in B} |P_\gamma|^{-2}$, où $P_\gamma$ est la période le long de la connexion de selle $\gamma$. La fonction globale $\ell^{-2}$ est le supremum sur toutes ces bases.
2. La fonction de taille polaire ($S$) : Une nouvelle fonction introduite dans ce travail. Dans la structure plate d'une différentielle strictement méromorphe, la surface se décompose en un « cœur » (un enclos convexe de aire finie des zéros) et des « domaines polaires » (des régions d'aire infinie entourant chaque pôle). Le bord de ces domaines polaires est constitué de « connexions de selle périphériques ». La fonction $S(\omega)$ est définie comme le module maximal de la somme des périodes sur tous les sous-ensembles de ces connexions de selle de bord :
   $$S(\omega) := \max_{E \subset D_\omega} \left| \sum_{\gamma \in E} P_\gamma \right|$$
   où $D_\omega$ est l'union des arêtes de bord de tous les domaines polaires.

Les auteurs analysent les propriétés de déformation de ces fonctions. Ils établissent que, bien que $S$ soit homogène de degré 1 et que $\ell^{-2}$ soit homogène de degré -2, leur combinaison $2 \log S + \log \ell^{-2}$ est bien définie sur la strate projectivisée (où l'échelle de $\omega$ par $\lambda \in \mathbb{C}^*$ laisse la valeur invariante).

Contributions principales et résultats

• Construction d'une fonction strictement plurisubharmonique : Le résultat principal (Théorème 1.3) prouve que la fonction $F = 2 \log S + \log \ell^{-2}$ est strictement plurisubharmonique sur toute strate projectivisée $P\Omega M_g(\mu)$ de différentielles strictement méromorphes.

  • La preuve repose sur la démonstration que $\log \ell^{-2}$ est strictement plurisubharmonique sur les sous-variétés transverses aux rayons de la strate (un résultat adapté de Mondello).
  • Crucialement, les auteurs prouvent que $\log S$ est plurisubharmonique. Cela est accompli en démontrant que le maximum définissant $S$ est toujours atteint par des « classes d'homologie cohérentes ». Ce sont des sommes spécifiques de connexions de selle périphériques qui persistent en tant que classes cohérentes sous de petites déformations, permettant à $S$ d'être localement exprimée comme le maximum de fonctions de modules holomorphes finies.

• Non-existence de sous-variétés complètes : En conséquence directe (Corollaire 1.4), les auteurs en déduisent qu'aucune sous-variété complète de dimension positive n'existe au sein de $P\Omega M_g(\mu)$. L'argument suit le principe du maximum : une fonction plurisubharmonique non constante ne peut pas exister sur une variété complète. Puisque $F$ est strictement plurisubharmonique, sa restriction à toute sous-variété de dimension positive serait non constante, menant à une contradiction si cette sous-variété était complète.

• Extension aux $k$-différentielles : Le résultat est étendu aux strates de $k$-différentielles avec des pôles d'ordre au moins $k$ (Corollaire 1.5). Cela est justifié par le fait que de telles différentielles peuvent être levées via un revêtement cyclique canonique vers la $k$-ième puissance d'une forme univoque strictement méromorphe, héritant ainsi de la propriété de non-existence.

Signification et affirmations
L'article affirme fournir la première preuve par la géométrie plate que les strates projectivisées de diffémentielles strictement méromorphes ne contiennent aucune sous-variété complète de dimension positive. Les preuves antérieures pour le cas méromorphe reposaient sur la positivité des classes de diviseurs dans le cadre algébro-géométrique.

Les auteurs soulignent que la fonction de taille polaire $S$ construite, ainsi que sa nature plurisubharmonique, servent d'« incarnation analytique » de la positivité des classes $\psi$ (associées au fibré $S^1$ aux pôles) utilisées dans les preuves algébro-géométriques précédentes. Ils notent que cet entrelacement entre géométrie métrique (structures plates) et classes cohomologiques (classes $\psi$) est parallèle aux techniques utilisées par Kontsevich et Mirzakhani dans le contexte de la conjecture de Witten. Ce travail vise à combler le fossé entre les perspectives de la géométrie affine et la théorie des modules, offrant un nouvel outil pour l'étude de la géométrie des strates de différentielles.