Transportation cost inequalities for singular SPDEs

1. Problématique et Contexte

L'article s'intéresse aux Équations aux Dérivées Partielles Stochastiques Singulières (SPDEs), un domaine qui a connu des avancées majeures avec la théorie des structures de régularité (Hairer, 2014) et la théorie des chemins bruts. Ces équations, comme l'équation $\Phi^4_3$ ou $\Phi^4_4$, sont mal définies en raison de la singularité du bruit (bruit blanc spatio-temporel) et nécessitent des procédures de renormalisation complexes.

Le problème central abordé par les auteurs est l'analyse des propriétés informationnelles et probabilistes des lois des solutions de ces SPDEs, spécifiquement la satisfaction d'inégalités de coût de transport (Transportation Cost Inequalities - TCI).

• Une inégalité de coût de transport relie la distance de Wasserstein (coût de transport) entre deux mesures de probabilité à leur entropie relative (Kullback-Leibler).
• La satisfaction d'une telle inégalité implique des propriétés fortes de concentration de mesure, d'intégrabilité exponentielle et de principe de grande déviation.
• Les travaux antérieurs (ex: Riedel, Gasteratos & Jacquier) avaient établi ces résultats pour des équations différentielles stochastiques (SDE) ou des SPDEs « faiblement singulières », mais l'extension aux SPDEs fortement singulières (nécessitant une renormalisation non triviale) restait un défi ouvert en raison de la complexité de la procédure de renormalisation BPHZ (Bogoliubov-Parasiuk-Hepp-Zimmermann).

2. Méthodologie

Les auteurs développent une approche combinant la théorie des structures de régularité, le calcul de Malliavin d'ordre supérieur et les inégalités de coût de transport.

A. Cadre Fonctionnel et Hypothèses

• Hypothèse A : Le bruit $\xi$ est défini sur un espace de Banach séparable $\Omega$ contenant un sous-espace dense de Hilbert $H$. La loi du bruit satisfait une inégalité de coût de transport par rapport à la métrique induite par la norme de $H$.
• Modèle BPHZ : Les auteurs travaillent avec le modèle aléatoire BPHZ, construit via une procédure de limite (convergence prouvée sous des hypothèses de « spectral gap » ou d'inégalité de transport).
• Structure de régularité-intégrabilité : Pour surmonter les difficultés de la renormalisation, les auteurs introduisent une structure de régularité-intégrabilité spécifique (inspirée de [1], mais raffinée). Contrairement aux travaux précédents qui utilisaient uniquement le calcul de Malliavin d'ordre 1, cette structure intègre les dérivées de Malliavin d'ordre supérieur. Cela permet de quantifier la régularité des objets analytiques associés aux symboles de la structure dans des espaces de Besov dépendant du symbole lui-même.

B. Stratégie de Preuve

La preuve repose sur deux piliers principaux :

1. Estimation de régularité Hölderienne (Théorème 2) :
   Les auteurs établissent une inégalité de régularité Hölderienne pour le modèle BPHZ $\mathbb{M}_{\infty}$. Ils montrent que pour tout bruit $\omega$ et toute perturbation $h \in H$ :
   $$\|\mathbb{M}_{\infty}(\omega + h) : \mathbb{M}_{\infty}(\omega)\|_{\mathcal{M}} \leq L(\omega) \max(\|h\|_H, \|h\|_H^{1/r})$$
   où $L(\omega)$ est une variable aléatoire dans tous les espaces $L^p$, et $r \geq 1$ est un exposant dépendant de la structure.

   • Innovation clé : La preuve utilise un calcul de Malliavin d'ordre supérieur pour obtenir des estimées polynomiales en $\|h\|_H$, ce qui est nécessaire car la renormalisation devient plus complexe pour les équations plus singulières.

2. Principe de contraction étendu (Proposition 1) :
   En s'appuyant sur un résultat de Gasteratos & Jacquier, les auteurs montrent que si une application aléatoire $M: \Omega \to \mathcal{M}$ satisfait une inégalité de type Hölder (comme ci-dessus) et que la loi du bruit satisfait une TCI, alors la loi de $M$ satisfait également une famille d'inégalités de coût de transport.

3. Résultats Principaux

A. Inégalités de Coût de Transport pour les Modèles BPHZ

Le résultat central (Théorème 15 et Corollaire 6) démontre que la loi du modèle BPHZ $\mathbb{M}_{\infty}$ satisfait une inégalité de coût de transport $(\ell_\alpha, c_\alpha)$.

• Cela implique que la norme du modèle $\|\mathbb{M}_{\infty}\|_{\mathcal{M}}$ possède des queues gaussiennes (Corollaire 8) :
  $$\mathbb{E}[\exp(a \|\mathbb{M}_{\infty}\|_{\mathcal{M}}^2)] < \infty$$
  pour une constante $a > 0$.

B. Propriétés d'Intégrabilité des Mesures Invariantes

En appliquant ces résultats aux solutions de SPDEs globalement bien posées (comme l'équation $\Phi^4$ sur le tore 4D), les auteurs déduisent des propriétés d'intégrabilité pour les mesures invariantes.

• Théorème 4 : La mesure invariante $\mu$ de l'équation $\Phi^4_{4-\nu}$ sur le tore $\mathbb{T}^4$ satisfait une inégalité de coût de transport.
• Conséquence : Il existe une constante $a > 0$ telle que :
  $$\int \exp(a \|\phi\|^{2/p(\nu)}_{C^{-1-\kappa+\nu}}) \mu(d\phi) < \infty$$
  Ce résultat établit l'intégrabilité exponentielle de la solution sous la seule hypothèse que la loi du bruit satisfait une inégalité de transport, sans nécessiter d'estimations globales de type Lipschitz (souvent impossibles à obtenir pour ces équations).

C. Principe de Grande Déviation (LDP)

Sous des hypothèses supplémentaires (compacité de l'injection de $H$ dans $\Omega$), les auteurs prouvent un principe de grande déviation pour la famille de modèles BPHZ $\mathbb{M}_{\infty}^\kappa$ associés au bruit bruité $\kappa \xi$ lorsque $\kappa \to 0$.

• Théorème 19 : La loi de $\mathbb{M}_{\infty}^\kappa$ satisfait un LDP avec un taux $\kappa^2$ et une fonction de taux $J(M)$ définie comme l'infimum de l'énergie de Dirichlet ($\|h\|_H^2/2$) sur l'ensemble des perturbations $h$ qui génèrent le modèle $M$ via le modèle naïf.
• Ce résultat étend le travail seminal de Hairer & Weber (2013) sur l'équation d'Allen-Cahn à une classe beaucoup plus large d'équations singulières, sans utiliser de décompositions de chaos de Wiener.

4. Contributions Clés et Signification

1. Généralisation aux SPDEs Singulières : C'est la première preuve générale d'inégalités de coût de transport pour les lois des solutions de SPDEs singulières dans le régime sous-critique complet, incluant des équations comme $\Phi^4_4$.
2. Nouvelle Structure de Régularité : L'introduction d'une structure de régularité-intégrabilité permettant le calcul de Malliavin d'ordre supérieur est une avancée technique majeure. Elle permet de contourner les limitations des méthodes d'ordre 1 qui échouaient face à la complexité de la renormalisation BPHZ pour ces équations.
3. Robustesse des Résultats : Les résultats ne dépendent pas de la nature gaussienne du bruit, mais seulement de la satisfaction d'une inégalité de coût de transport (ou d'un spectral gap) par la loi du bruit. Cela ouvre la voie à l'étude de bruits non-gaussiens.
4. Implications Physiques et Mathématiques :
   • Théorie Quantique des Champs : L'intégrabilité exponentielle des mesures invariantes est liée aux axiomes d'Osterwalder-Schrader en théorie quantique des champs euclidienne.
   • Dynamique à Long Terme : Les résultats garantissent l'existence et l'unicité de mesures invariantes avec des propriétés de concentration fortes pour des dynamiques générées par des SPDEs singulières.
   • Principe de Grande Déviation : Fournit un cadre pour comprendre les fluctuations rares des modèles renormalisés, essentiel pour l'analyse asymptotique.

En résumé, cet article établit un pont robuste entre la théorie des structures de régularité, le calcul stochastique de haute précision et la théorie de l'information, fournissant des outils puissants pour l'analyse fine des lois des solutions d'équations stochastiques non-linéaires fortement singulières.