Extending Andrews and Newman's refinement of the crank-mex theorem

Énoncé du problème
L'article traite de l'affinement du « théorème crank–mex », un résultat établi par Andrews et D. Newman (2020) et Hopkins et Sellers (2020). Le théorème original stipule que le nombre de partitions d'un entier $n$ avec un crank non négatif ($M_{\ge 0}(n)$) est égal au nombre de partitions de $n$ avec un mex (minimal excludant) impair ($X_o(n)$). Andrews et M. Newman ont récemment affiné cette égalité en suivant le nombre de parties supérieures à un, noté la statistique $\beta(\lambda)$. Ils ont prouvé analytiquement que $x_o(n, k) = m_{\ge 0}(n, k)$, mais ont sollicité une preuve combinatoire.

Le présent travail étend cette ligne d'enquête à un ensemble complémentaire de statistiques de partitions. Plus précisément, il étudie l'équinumérosité entre :

1. Les partitions avec un mex pair ($X_e(n)$).
2. Les partitions avec un point fixe (où $\lambda_i = i$ pour un certain $i$).
3. Les partitions avec un crank négatif ($M_{< 0}(n)$).
4. Les partitions avec un crank positif ($M_{> 0}(n)$).

Les auteurs visent à établir et à affiner ces relations en suivant le nombre de parties supérieures à un ($k$) et, pour le cas des points fixes, le compte spécifique de ces parties.

Méthodologie
L'article emploie deux méthodologies distinctes pour prouver le théorème principal :

1. Preuve analytique : Les auteurs utilisent les séries $q$ et les fonctions génératrices. Ils définissent des fonctions génératrices pour chacun des quatre ensembles de partitions, introduisant une variable $z$ pour suivre le nombre de parties supérieures à un et $q$ pour suivre la somme des parties. Pour les ensembles liés au crank, ils utilisent la fonction génératrice de crank connue, dérivée par Andrews et Garvan (1988). À travers des manipulations algébriques, incluant l'usage des transformations de Heine et des théorèmes $q$-binomiaux, ils démontrent que les fonctions génératrices de ces ensembles sont identiques (ou liées par un facteur simple de $z$), prouvant ainsi l'équinumérosité.
2. Preuve combinatoire : Les auteurs construisent des bijections explicites entre les ensembles.
   • Mex pair $\leftrightarrow$ Points fixes : Ils adaptent une bijection généralisée de Konan (2023) qui connecte les partitions avec un mex impair aux partitions sans points fixes. Ils modifient celle-ci pour connecter les partitions avec un mex pair aux partitions avec un point fixe, en analysant soigneusement comment le nombre de parties supérieures à un change lors de la mise en correspondance itérative.
   • Points fixes $\leftrightarrow$ Crank négatif : Ils définissent une bijection basée sur la relation entre l'indice du point fixe, le nombre de 1 ($\omega(\lambda)$) et le crank. Des lemmes sont établis pour montrer que les partitions avec un point fixe et un crank négatif satisfont des bornes spécifiques sur $\omega(\lambda)$. La mise en correspondance implique de remplacer un point fixe $i$ par $i$ uns (ou vice versa), en ajustant le compte des parties supérieures à un en conséquence.
   • Crank négatif $\leftrightarrow$ Crank positif : Une bijection directe est construite entre les partitions avec un crank négatif et celles avec un crank positif. Cette application implique de décaler les parties et le nombre de 1 pour inverser le signe du crank tout en augmentant le nombre de parties supérieures à un de exactement un.

Contributions principales et résultats
Le résultat principal est le Théorème 1, qui établit que pour les entiers positifs $n$ et $k$, les quatre ensembles suivants sont équinuméreux :

• (a) Partitions de $n$ avec un mex pair et $k$ parties supérieures à 1.
• (b) Partitions de $n$ avec un point fixe et $k+1$ parties supérieures à 1.
• (c) Partitions de $n$ avec un crank négatif et $k$ parties supérieures à 1.
• (d) Partitions de $n$ avec un crank positif et $k+1$ parties supérieures à 1.

Cela s'exprime mathématiquement comme suit :
$$x_e(n, k) = f(n, k+1) = m_{< 0}(n, k) = m_{> 0}(n, k+1)$$

L'article fournit à la fois des preuves analytiques et combinatoires pour ce théorème. Les preuves combinatoires reposent sur une chaîne de bijections :
$$X_e(n, k) \xrightarrow{\text{la carte de Konan}} (1) \times G_1(n-1, k) \xrightarrow{\text{carte du point fixe}} F(n, k+1) \xrightarrow{\text{carte du crank}} M_{< 0}(n, k) \xrightarrow{\text{carte du crank}} M_{> 0}(n, k+1)$$

Les auteurs traitent également le cas spécifique où $k=0$, notant une exception mineure concernant la partition $(1^n)$ et introduisant la notation $F^*(n, k+1)$ pour gérer cette condition limite.

Signification et limites
L'article affirme avoir réussi à étendre l'affinement du théorème crank–mex aux ensembles complémentaires impliquant le mex pair, les points fixes et les signes de crank. En fournissant à la fois des preuves analytiques et combinatoires, ce travail offre une compréhension structurelle plus profonde de ces statistiques de partitions.

Cependant, les auteurs font preuve de modestie quant à la résolution du problème ouvert posé par Andrews et Newman. Ils déclarent explicitement que leurs résultats ne fournissent pas de preuve combinatoire pour l'affinement $x_o(n, k) = m_{\ge 0}(n, k)$. Ils identifient deux « obstacles insurmontables » pour affiner les bijections existantes de Konan pour ce cas spécifique :

1. Il n'existe pas de bijection entre $X_o(n)$ et l'ensemble des partitions sans points fixes ($G(n)$) qui préserve le nombre de parties supérieures à un, car les distributions des valeurs de $\beta$ diffèrent fondamentalement entre ces ensembles.
2. Il n'existe pas de bijection entre $M_{\le 0}(n, k)$ et $M_{\ge 0}(n, k+1)$ qui préserve les statistiques nécessaires, même en tenant compte de la parité des partitions de crank zéro.

Par conséquent, l'article conclut que satisfaire la demande d'une preuve combinatoire pour l'affinement du mex impair nécessiterait probablement une connexion directe entre $X_o(n)$ et $M_{\ge 0}(n)$ ou la découverte de nouveaux ensembles équinuméreux, plutôt qu'une extension des bijections actuelles.