Hochschild cohomology of Beilinson algebras of graded down-up algebras with weights ($n,m$)

Résumé technique : Cohomologie de Hochschild des algèbres de Beilinson d'algèbres down-up graduées avec des poids (n, m)

Énoncé du problème
Ce papier traite du calcul des groupes de cohomologie de Hochschild, $HH^r(\nabla A)$, pour l'algèbre de Beilinson $\nabla A$ associée à une algèbre down-up graduée $A = A(\alpha, \beta)$. L'algèbre $A$ est définie sur un corps algébriquement clos $k$ de caractéristique zéro, avec des générateurs $x, y$ et des poids $(\deg x, \deg y) = (n, m)$. L'étude se concentre sur le cas où $\beta \neq 0$, garantissant que $A$ est une algèbre AS-régulière noethérienne de dimension 3, et vise spécifiquement le cas résiduel non résolu où les poids satisfont $m \ge n > 1$ et $\gcd(n, m) = 1$.

Des travaux antérieurs avaient établi des résultats pour les cas $(n, m) = (1, 1)$ (Belmans) et $(n=1, m \ge 2)$ (Itaba–Ueyama). Le travail actuel étend ces découvertes au scénario où les deux poids sont supérieurs à 1. Les objectifs principaux sont de déterminer les dimensions des groupes de cohomologie de Hochschild, de construire des bases explicites pour $HH^1$ et $HH^2$, de décrire la structure d'anneau par rapport au produit de Yoneda, et d'enquêter sur l'équivalence de la catégorie dérivée du schéma projectif non commutatif associé.

Méthodologie
Les auteurs adoptent une approche algébrique utilisant la résolution projective minimale de l'algèbre de Beilinson $\nabla A$ en tant que module sur son algèbre enveloppante $(\nabla A)^e$. La méthodologie procède selon les étapes suivantes :

1. Construction de la résolution : Suivant le cadre de Green–Snashall, les auteurs construisent la résolution projective minimale $P_\bullet$ de $\nabla A$. Ils définissent des ensembles spécifiques de générateurs $G_0, G_1, G_2$ correspondant aux sommets, aux flèches et aux relations du carquois de $\nabla A$. Les différentielles $\partial_1$ et $\partial_2$ sont définies explicitement.
2. Complexe dual et représentation matricielle : En appliquant le foncteur $\text{Hom}_{(\nabla A)^e}(-, \nabla A)$, les auteurs obtiennent un complexe d'espaces duaux. Ils construisent des $k$-bases pour ces espaces duaux et représentent les applications induites $\widehat{\partial}_1$ et $\widehat{\partial}_2$ sous forme de matrices ($L_1$ et $L_2$).
3. Calcul du rang : Les dimensions des groupes de cohomologie sont déduites en calculant les rangs de ces matrices de représentation. Les auteurs utilisent les propriétés des matrices circulantes et de leurs polynômes associés pour déterminer les rangs de $L_1$ et $L_2$ sous diverses conditions sur les paramètres $\alpha, \beta$ et les poids $n, m$.
4. Construction de bases : Des bases explicites pour les groupes de cohomologie $HH^1(\nabla A)$ et $HH^2(\nabla A)$ sont construites en analysant les noyaux et les images des différentielles dans le complexe dual.
5. Structure d'anneau : La structure du produit de Yoneda sur l'anneau total de cohomologie de Hochschild $\bigoplus_{r \ge 0} HH^r(\nabla A)$ est déterminée en construisant des applications de chaînes qui relèvent les classes de cohomologie et en calculant leurs compositions.
6. Analyse de la catégorie dérivée : Les auteurs utilisent la caractéristique d'Euler de la cohomologie de Hochschild et les propriétés du foncteur de Serre sur le groupe de Grothendieck pour tester l'unipotence, en comparant les résultats avec des théorèmes connus concernant les catégories dérivées de variétés projectives lisses.

Résultats clés

• Formules de dimension : Le papier fournit une formule de dimension complète pour $HH^r(\nabla A)$ pour tout $r \ge 0$ dans le cas $m > n > 1$ avec $\gcd(n, m) = 1$.
  • $HH^0(\nabla A) \cong k$ (dimension 1).
  • $HH^1(\nabla A)$ a une dimension 2 si $n+m$ est pair et $\alpha=0$ (Cas I), et une dimension 1 sinon (Cas II).
  • Les dimensions de $HH^2(\nabla A)$ dépendent de $n$ et du cas :
    • Si $n=2$ : la dimension est $m+5$ (Cas I) ou $m+4$ (Cas II).
    • Si $n \ge 3$ : la dimension est $n+m+1$ (Cas I) ou $n+m$ (Cas II).
  • $HH^r(\nabla A) = 0$ pour tout $r \ge 3$.
• Bases explicites : Les auteurs construisent des $k$-bases explicites pour $HH^1(\nabla A)$ et $HH^2(\nabla A)$ pour tous les sous-cas (y compris des conditions spécifiques sur $\alpha$ et $\beta$ telles que $\lambda_{m+1}=0$ ou $\alpha^2+4\beta=0$).
• Structure d'anneau : L'anneau total de cohomologie de Hochschild est montré isomorphe à un quotient d'une algèbre extérieure $\Lambda(a, b)$ par un idéal homogène $I$. Le nombre de générateurs $(a, b)$ et les relations spécifiques dans $I$ sont tabulés pour tous les cas. Pour de nombreux cas (particulièrement lorsque $n \ge 2$), l'idéal $I$ est trivial, impliquant que l'anneau est une algèbre extérieure libre.
• Non-équivalence de la catégorie dérivée : Une conséquence structurelle significative est déduite pour le cas $m > n > 1$. Les auteurs calculent la caractéristique d'Euler $\chi_{HH}(HH^\bullet(\nabla A))$ et montrent qu'elle n'est pas égale au rang du groupe de Grothendieck de la catégorie dérivée bornée du schéma projectif non commutatif, soit $2(n+m)$. En invoquant un théorème de Bondal–Polishchuk concernant l'unipotence du foncteur de Serre sur les surfaces projectives lisses, ils concluent que le foncteur de Serre n'agit pas unipotemment. Par conséquent, la catégorie dérivée $Db(\text{tails } A)$ n'est pas équivalente à la catégorie dérivée bornée d'une surface projective lisse quelconque.

Importance et revendications
Le papier revendique l'extension de la classification de la cohomologie de Hochschild pour les algèbres de Beilinson d'algèbres down-up graduées au cas non abordé précédemment où les deux poids sont supérieurs à 1. En construisant explicitement des résolutions projectives et en calculant les rangs de matrices, les auteurs fournissent une description algébrique complète des dimensions de cohomologie et des structures d'anneaux.

Le travail met en évidence une distinction dans la nature géométrique de ces algèbres non commutatives. Alors que les cas $(1,1)$ et $(1,2)$ (où $n=1$) exhibent des équivalences dérivées vers des surfaces projectives lisses (ou possèdent des foncteurs de Serre unipotents), le papier démontre que pour $m > n > 1$, cette équivalence s'effondre. Ce résultat sert de contre-exemple à l'universalité des équivalences dérivées entre les algèbres AS-régulières et les variétés projectives lisses dans les scénarios de poids plus élevés, affinant la compréhension de la réalisation géométrique des schémas projectifs non commutatifs.