Fractional higher differentiability of solutions to strongly nonlinear Stokes systems

1. Problématique et Contexte

L'article s'intéresse à la régularité des solutions de systèmes de type Stokes stationnaires, qui modélisent l'écoulement de fluides non newtoniens incompressibles. Le système étudié est de la forme :
$$\begin{cases} -\text{div } a(x, Eu) + \nabla \pi = f \\ \text{div } u = 0 \end{cases}$$
dans un ouvert $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ ($n \ge 2$), où :

• $u$ est la vitesse du fluide et $\pi$ la pression.
• $Eu = \frac{1}{2}(\nabla u + (\nabla u)^T)$ est le gradient symétrique (tenseur de déformation).
• $a(x, Eu)$ est le tenseur des contraintes déviatoriques, dépendant de manière non linéaire de $Eu$.
• $f$ est une force extérieure.

Le défi principal : Contrairement aux modèles classiques (comme le système Stokes linéaire ou le système $p$-Laplacien), l'opérateur différentiel $a(x, P)$ n'est pas nécessairement de type puissance (polynomial). Il peut présenter des comportements fortement non linéaires. De plus, la régularité de $a$ par rapport à la variable spatiale $x$ est faible (seulement Hölderienne ou fractionnaire).

L'objectif est d'établir des propriétés de différentiabilité fractionnaire (régularité Hölderienne fractionnaire) pour le gradient symétrique $Eu$ et la pression $\pi$, en fonction de l'intégrabilité de la donnée $f$ et de la non-linéarité de l'opérateur.

2. Cadre Fonctionnel et Hypothèses

Pour traiter des non-linéarités générales, les auteurs utilisent le cadre des espaces d'Orlicz et d'Orlicz-Sobolev, définis par des fonctions de Young $\phi$ et $\psi$ (qui ne sont pas nécessairement des puissances $t^p$).

• Hypothèses sur l'opérateur $a$ :
  • Conditions d'éllipticité et de croissance contrôlées par une fonction de Young $\phi$ (via $\phi'$ et $\phi''$).
  • Condition de régularité en $x$ : $|a(x, P) - a(y, P)| \le (k(x) + k(y))|x-y|^\alpha \phi'(|P|)$, où $k \in L^m_{loc}$ et $\alpha \in (0, 1]$.
• Hypothèses sur la donnée $f$ :
  • $f$ appartient à un espace d'Orlicz $L^\psi_{loc}$, où $\psi$ est lié à $\phi$ et à sa conjugée de Sobolev $\phi_n$ par une inégalité d'interpolation impliquant un paramètre $\theta \in (0, 1]$. Cette condition est plus faible que celle requise pour l'existence de solutions faibles classiques, ce qui rend le résultat de régularité non trivial.

3. Méthodologie

La preuve repose sur une combinaison sophistiquée d'outils d'analyse non linéaire et de théorie des espaces fonctionnels :

1. Expression non linéaire $V(Eu)$ :
   Au lieu d'étudier directement $Eu$, les auteurs analysent l'expression non linéaire $V(Eu) = \sqrt{\frac{\phi'(|Eu|)}{|Eu|}} Eu$. Cette transformation est cruciale pour gérer la dégénérescence possible de l'opérateur (lorsque $|Eu| \to 0$ ou $\infty$) et pour linéariser localement le problème.

2. Espaces de Besov :
   La régularité est formulée en termes d'appartenance à des espaces de Besov locaux $B^{\sigma, 2, \infty}_{loc}$. Cela permet de capturer la régularité fractionnaire $\sigma$ qui dépend de la régularité en $x$ de $a$ ($\alpha$) et de l'intégrabilité de $f$ ($\theta$).

3. Technique de différences finies et itération :
   Les auteurs utilisent des opérateurs de différence finie $\tau_h$ et une méthode d'itération (lemme de type iteration de De Giorgi/Moser) sur des boules emboîtées pour obtenir des estimations a priori.

4. Inégalité de Poincaré-Sobolev modulaire :
   Un résultat technique clé est l'établissement d'une nouvelle version de l'inégalité de Poincaré-Sobolev dans les espaces d'Orlicz sur des domaines de mesure finie. Cette inégalité utilise une fonction conjuguée modifiée $\phi_{0,n}$ pour éviter des restrictions techniques sur le comportement de $\phi$ près de zéro, tout en conservant l'équivalence près de l'infini.

5. Opérateur de Bogovskiĭ :
   Pour traiter la contrainte de divergence nulle ($\text{div } u = 0$), l'article utilise l'opérateur de Bogovskiĭ dans le cadre des espaces d'Orlicz pour construire des fonctions tests admissibles.

6. Argument d'approximation :
   Les estimations sont d'abord prouvées sous des hypothèses de régularité forte (données lisses), puis étendues au cas général par un processus de régularisation (mollification) et de passage à la limite, en utilisant la convergence forte dans les espaces d'Orlicz.

4. Résultats Principaux

Les théorèmes principaux (Théorèmes 4.1 et 4.2) établissent les résultats suivants :

• Régularité du gradient symétrique :
  L'expression non linéaire $V(Eu)$ appartient à l'espace de Besov local $B^{\sigma, 2, \infty}_{loc}(\Omega, \mathbb{R}^{n \times n})$, où l'exposant de régularité est :
  $$\sigma = \min\left\{ \alpha, \theta, \frac{\theta s'_\phi}{2} \right\}$$
  Ici, $\alpha$ est l'exposant de Hölder de $a$ en $x$, $\theta$ mesure l'intégrabilité de $f$ par rapport à la solution, et $s'_\phi$ est lié à l'indice de Simonenko de $\phi$.
  Cela implique que $V(Eu)$ possède une régularité de Sobolev fractionnaire $W^{\rho, 2}_{loc}$ pour tout $\rho < \sigma$.

• Régularité de la pression :
  La pression $\pi$ possède également une régularité fractionnaire, appartenant à un espace de Besov d'Orlicz $B^{\varrho, \tilde{\phi}, \infty}_{loc}$, avec un exposant $\varrho$ dépendant de $\sigma$ et des indices de $\phi$.

• Cas du système elliptique :
  Des résultats parallèles sont obtenus pour le système elliptique associé $-\text{div } a(x, Eu) = f$ (sans contrainte de divergence), où la preuve est simplifiée car les fonctions tests n'ont pas besoin d'être à divergence nulle.

5. Contributions et Signification

• Généralisation des modèles : Ce travail dépasse le cadre classique des systèmes $p$-Laplacien ($\phi(t) = t^p$) pour couvrir une classe très large de non-linéarités (croissance non standard, logarithmique, exponentielle, etc.) via les espaces d'Orlicz.
• Optimalité des conditions sur $f$ : Les auteurs identifient une condition d'intégrabilité sur $f$ qui est plus faible que celle requise pour l'existence de solutions faibles, tout en garantissant une régularité fractionnaire supérieure. Cela affine la compréhension de la relation entre la régularité de la source et celle de la solution.
• Nouveaux outils techniques : L'introduction d'une inégalité de Poincaré-Sobolev modulaire dans les espaces d'Orlicz, valable sans restriction sur le comportement local de la fonction de Young, constitue une avancée méthodologique significative pour l'analyse des EDP non linéaires.
• Traitement de la pression : Contrairement à de nombreux travaux antérieurs qui se concentrent uniquement sur le gradient de vitesse, cet article fournit des estimées précises sur la régularité fractionnaire de la pression $\pi$ dans un cadre non linéaire général.

En résumé, cet article établit un cadre robuste pour l'analyse de la régularité fine des solutions de systèmes de Stokes fortement non linéaires, reliant précisément la régularité des données et de l'opérateur à la régularité fractionnaire des solutions dans le langage des espaces de Besov et d'Orlicz.