The étale Brauer-Manin obstruction for classifying stacks

1. Problématique et Contexte

L'article s'inscrit dans le domaine de la géométrie arithmétique, plus précisément dans l'étude des principes locaux-globaux pour les points rationnels sur les variétés algébriques et les empilements (stacks) algébriques définis sur un corps de nombres $k$.

• Approximation forte : La question centrale est de savoir si l'ensemble des points rationnels $X(k)$ est dense dans l'ensemble des points adéliques $X(\mathbb{A}_k)$ (ou dans une version restreinte $X(\mathbb{A}_{k,S})$).
• Obstruction de Brauer-Manin : Pour de nombreuses variétés, l'obstruction de Brauer-Manin (liée au groupe de Brauer $Br(X)$) est la seule obstruction à l'approximation forte. Cependant, ce cadre s'avère insuffisant pour certains cas, notamment lorsque les groupes d'automorphismes ne sont pas connexes ou abéliens.
• Cible de l'étude : Les auteurs se concentrent sur les empilements classifiants $BG$, où$G$ est un groupe algébrique linéaire sur $k$. Les points $k$-rationnels de $BG$ correspondent aux $G$-torseurs sur $Spec(k)$.
• Le problème spécifique : Il est connu (réf. [4]) que l'obstruction de Brauer-Manin classique suffit lorsque $G$ est connexe. En revanche, lorsque $G$ est disconnexe (et particulièrement si le groupe des composantes connexes $G/G^\circ$ n'est pas abélien), la validité de ce résultat est incertaine. Les auteurs posent la question : l'obstruction de Brauer-Manin étale est-elle la seule obstruction à l'approximation forte pour $BG$ ?

2. Méthodologie et Outils Théoriques

Pour répondre à cette question, les auteurs développent une théorie systématique des torsors et des "twists" (tordus) de Galois dans le contexte des empilements algébriques, ce qui nécessite un travail non trivial en théorie des 2-catégories.

• Théorie des torsors sur les empilements :

  • Ils formalisent la notion de torsor $G$-équivariant sur un empilement algébrique $Y$.
  • Ils définissent rigoureusement les twists de Galois (ou twists de torsion) pour les empilements. Si $X \to Y$ est un $G$-torseur et $P$ un $G$-torseur à gauche correspondant à une classe de cohomologie $\sigma \in H^1(k, G)$, ils construisent l'empilement tordu $X_\sigma = X \times_G P$.
  • Ils établissent que le twist d'un empilement par un torsor préserve les propriétés de torsion et d'équivariance, généralisant les résultats classiques des schémas aux empilements.

• Topologie adélique sur les empilements :

  • Ils utilisent la topologie développée dans [4] pour définir les points adéliques d'un empilement $X(\mathbb{A}_k)$. Cette définition repose sur l'existence de présentations "S-liftables" (présentations par des espaces algébriques séparés de type fini) qui permettent de transporter la topologie quotient des espaces algébriques vers les empilements.

• Définition de l'obstruction étale :

  • L'ensemble de Brauer-Manin étale est défini comme l'intersection sur tous les $H$-torseurs finis étales $f: Y \to X$ (où $H$ est un schéma en groupes fini étale) des images des lieux de Brauer-Manin des twists $Y_\sigma$.
  • Formellement : $X(\mathbb{A}_k)^{\text{ét}, Br} = \bigcap_{f: Y \to X} \bigcup_{\sigma \in H^1(k, H)} f_\sigma(Y_\sigma(\mathbb{A}_k)_{Br})$.

3. Résultats Principaux

Le résultat central de l'article est le Théorème 1.1, qui établit le théorème suivant :

Théorème 1.1 : Soit $G$ un groupe algébrique linéaire sur un corps de nombres $k$, et $S$ un ensemble fini de places contenant les places infinies.

1. L'ensemble de Brauer-Manin étale $BG(\mathbb{A}_{k,S})^{\text{ét}, Br}$ est fermé dans la topologie adélique.
2. L'image de l'application naturelle $BG(k) \to BG(\mathbb{A}_{k,S})^{\text{ét}, Br}$ est dense.

Interprétation : L'obstruction de Brauer-Manin étale est la seule obstruction à l'approximation forte pour les empilements classifiants $BG$, même lorsque $G$ est disconnexe.

4. Structure de la Preuve

La preuve du théorème principal repose sur une décomposition de l'empilement $BG$ en fonction de la composante connexe $G^\circ$ et du groupe des composantes $H = G/G^\circ$.

1. Décomposition par twists :

   • L'ensemble des points rationnels se décompose selon les classes de cohomologie de $H$ : $BG(k) = \bigsqcup_{\sigma \in H^1(k, H)} (BG^\circ)_\sigma(k)$.
   • De même, l'obstruction étale sur $BG$ est liée à la réunion des lieux de Brauer-Manin des twists $(BG^\circ)_\sigma$.

2. Réduction au cas connexe :

   • Les auteurs montrent que le twist $(BG^\circ)_\sigma$ est isomorphe à un quotient stack $[P/G]$ (où $P$ est un $H$-torseur).
   • Grâce à une représentation fidèle $G \hookrightarrow SL_n$, ils réduisent l'étude de l'approximation sur $(BG^\circ)_\sigma$ à celle d'un espace homogène $P \times_G SL_n$.

3. Utilisation des résultats existants :

   • Ils invoquent le théorème de Harpaz et Wittenberg (ou des résultats similaires dans [1]) qui garantit l'approximation forte pour les espaces homogènes sous $SL_n$ avec stabilisateur connexe.
   • Ils utilisent la propriété que le groupe de Brauer de l'empilement tordu est contrôlé par celui de l'espace homogène sous-jacent.

4. Densité :

   • En combinant la densité de l'approximation sur chaque composante tordue $(BG^\circ)_\sigma$ (via l'obstruction de Brauer-Manin classique sur ces composantes) et la structure de l'obstruction étale, ils déduisent la densité globale sur $BG$.

5. Contributions Clés et Signification

• Généralisation aux groupes disconnexes : C'est la première preuve que l'obstruction de Brauer-Manin étale suffit pour l'approximation forte sur $BG$ lorsque $G$ n'est pas connexe, comblant une lacune importante par rapport aux résultats antérieurs limités aux groupes connexes.
• Formalisation en théorie des empilements : L'article fournit un cadre rigoureux pour les twists de Galois et les actions de groupes sur les empilements algébriques, des outils qui sont essentiels pour l'arithmétique des empilements mais qui manquaient d'une exposition systématique.
• Lien avec la conjecture de Malle : Les auteurs soulignent l'importance de ce résultat pour la conjecture de Malle (qui prédit le nombre d'extensions de Galois de discriminant borné). Comme les extensions de Galois $G$ correspondent aux points de $BG$, et que les fonctions de hauteur ont été définies sur les empilements (Ellenberg-Satriano-Zureick-Brown), comprendre les obstructions à l'approximation sur $BG$ est crucial pour compter ces extensions. Les obstructions cohomologiques sur $BG$ pourraient expliquer des écarts dans la conjecture de Malle.
• Topologie et fermeture : La preuve que le lieu de Brauer-Manin étale est fermé pour les empilements est une étape technique nécessaire pour établir la densité des points rationnels.

En résumé, cet article établit un pont fondamental entre la théorie des empilements algébriques, la cohomologie galoisienne et l'approximation forte, en démontrant que l'obstruction étale de Brauer-Manin est suffisante pour capturer toute l'arithmétique des classes de torsors linéaires.