On the Morrison-Kawamata dream space and its applications

Résumé technique : Sur l'espace de rêve de Morrison-Kawamata et ses applications

Énoncé du problème
L'article répond à la nécessité d'un cadre axiomatique unifié pour caractériser les variétés algébriques qui satisfont la conjecture de cône de Morrison-Kawamata (MK). Si les espaces de rêve de Mori (MDS) fournissent une théorie robuste pour les variétés de type Fano, et que les variétés de type Calabi-Yau (CY) sont centrales dans l'étude de la conjecture de cône MK, il existe un fossé pour les variétés qui ne sont ni de type Fano, ni strictement de type Calabi-Yau. Les auteurs visent à développer une théorie qui axiomatise les propriétés des variétés satisfaisant la conjecture de cône MK, étendant ainsi les résultats structurels des MDS (tels que les décompositions en chambres et le bornitude) à une classe plus large de variétés, incluant les variétés de type CY et d'autres avec des diviseurs canoniques non triviaux.

Méthodologie
Les auteurs introduisent le concept d'espaces de rêve de Morrison-Kawamata (MKD) et d'espaces fibrés MKD. La méthodologie repose sur :

1. Définition axiomatique : Définir les espaces MKD via quatre conditions : la $\mathbb{Q}$-factoricité, l'existence de modèles minimaux bons pour tous les diviseurs $\mathbb{R}$-Cartier effectifs, l'existence d'un cône polyédrique rationnel $\Pi$ dont l'orbite sous le groupe des pseudo-automorphismes couvre le cône mobile, et la « factoricité locale des modèles canoniques » pour le cône effectif.
2. Géométrie combinatoire : Utiliser la géométrie des cônes convexes dans les espaces de Néron-Severi, spécifiquement la structure des polytopes de Shokurov et la décomposition des cônes en chambres où les modèles minimaux restent constants.
3. Programme du modèle minimal (MMP) : Établir la terminaison des MMP avec mise à l'échelle (scaling) pour les diviseurs effectifs au sein de la catégorie des espaces fibrés MKD.
4. Déformation et spécialisation : Employer des techniques d'étalement (spreading-out) et de spécialisation pour relier la géométrie de la fibre générique géométrique aux fibres sur un sous-ensemble de Zariski dense de la base, en utilisant des conditions d'annulation cohomologique ($H^1 = H^2 = 0$) pour contrôler le comportement des cônes.
5. Actions de groupes : Analyser l'action des groupes de pseudo-automorphismes ($\text{PsAut}$) et des groupes d'automorphismes ($\text{Aut}$) sur les cônes mobiles, nef et effectifs, et étendre ces actions aux groupes d'automorphismes génériques ($\text{GAut}$) agissant sur les cônes nef génériques.

Contributions clés et résultats

• Définition et équivalence : L'article définit les espaces fibrés MKD et prouve (Théorème 1.3) que, dans le cadre absolu, cette notion est équivalente à un ensemble de conditions ressemblant aux MDS mais adaptées pour les actions birationnelles (spécifiquement, l'existence d'un domaine fondamental pour le cône mobile sous les pseudo-automorphismes). Cela unifie les MDS et les variétés de type CY (sous la conjecture du cône et la conjecture du bon modèle minimal) dans un cadre unique.
• Structures de chambres :
  • Polytopes de Shokurov : Les auteurs établissent que pour tout cône généré par des diviseurs effectifs où existent des modèles minimaux bons, le cône se décompose en un nombre fini de chambres polyédriques rationnelles où le modèle minimal faible est constant (Théorème 1.4).
  • Cônes nef et effectifs : Ils prouvent que le cône nef des diviseurs effectifs ($\text{Nef}_e$) est un cône polyédrique rationnel et admet un domaine fondamental polyédrique rationnel sous l'action du groupe d'automorphisme (Théorème 1.5, Théorème 1.6).
• Stabilité sous MMP et contractions :
  • La classe des espaces fibrés MKD est montrée comme étant fermée sous les modifications $\mathbb{Q}$-factorielles mineures et les contractions birationnelles (Théorème 1.7).
  • Un $D$-MMP avec mise à l'échelle d'un diviseur ample est prouvé comme se terminant par un bon modèle minimal pour tout diviseur effectif $D$ sur un espace fibré MKD (Théorème 1.8).
• Invariance par déformation :
  • L'article établit l'invariance par déformation générique des cônes nef, effectifs et mobiles, ainsi que la décomposition de la chambre de Mori, pour les espaces fibrés MKD (Théorème 1.10). Ceci est réalisé en stratifiant la base et en utilisant les propriétés du cône nef générique.
  • Les résultats montrent que le fait que la fibre générique géométrique soit un espace MKD implique que les fibres sur un sous-ensemble de Zariski ouvert sont « presque » des espaces MKD (Théorème 6.17), satisfaisant les conjectures de cône nécessaires et les propriétés de factoricité locale.
• Bornitude des modules :
  • En appliquant les résultats d'invariance par déformation, les auteurs prouvent un théorème de bornitude (Théorème 1.11). En supposant la conjecture du cône MK et la conjecture du bon modèle minimal pour les variétés Calabi-Yau rationnellement connexes, ils montrent que ces variétés forment une famille bornée. Ceci est accompli en construisant une fibration où chaque variété de ce type apparaît comme une fibre (ou une contraction birationnelle de celle-ci).

Signification et revendications
L'article affirme que les espaces MKD servent de généralisation naturelle des variétés de type Calabi-Yau en géométrie birationnelle, de manière analogue au rôle que jouent les espaces de rêve de Mori pour les variétés de type Fano. La signification réside dans :

1. Unification : Fournir un cadre conceptuel qui étend le « collage » des théories locales de MDS aux variétés ayant des diviseurs canoniques triviaux et au-delà.
2. Preuves conceptuelles : Démontrer que les preuves concernant les structures de cônes et la bornitude deviennent plus conceptuelles lorsqu'elles sont vues à travers le prisme des espaces MKD, plutôt que de dépendre de théorèmes d'annulation spécifiques qui pourraient ne pas se tenir dans le cadre général.
3. Bornitude : Résoudre le problème de la bornitude des espaces de modules des variétés Calabi-Yau rationnellement connexes sous l'hypothèse de la conjecture du cône MK, un résultat qui repose crucialement sur l'invariance par déformation des cônes établie pour les espaces fibrés MKD.

Les auteurs notent explicitement que bien que la théorie soit robuste, certains phénomènes pathologiques (tels que l'absence de bornitude des longueurs des rayons extrémaux dans le cas général) nécessitent des hypothèses spécifiques comme la factoricité locale des modèles canoniques. L'article ne prétend pas résoudre la conjecture du cône MK elle-même, mais plutôt axiomatiser les conséquences de sa validité afin de faciliter l'étude ultérieure des modules et de la théorie des déformations.