Résumé technique : Trialité et relèvement adjoint pour GL3

Énoncé du problème

Ce papier traite de l'existence et des propriétés structurelles du relèvement adjoint des représentations automorphes cuspidales de $GL_3$ vers $GL_8$. Plus précisément, il vise à établir le relèvement fonctoriel associé à la représentation adjointe $\text{Ad}: GL_3(\mathbb{C}) \to GL_8(\mathbb{C})$. Alors que le relèvement pour $GL_2$ (Gelbart-Jacquet) est classique, le cas $GL_3$ présente des défis significatifs en raison de la complexité du groupe cible et de l'absence d'application directe de la formule des traces pour l'application spécifique.

Le papier examine également la décomposition isobare de la représentation relevée résultante $\text{Ad}(\pi)$. Il vise à classifier les formes possibles de cette décomposition (par exemple, si elle reste cuspidale ou se scinde en composantes cuspidales plus petites) et à déterminer les conditions sous lesquelles $\pi$ est une induction automorphe ou un twist d'une représentation autoduale.

Méthodologie

La méthodologie centrale repose sur le principe de trialité appliqué au groupe $PGSO_8$ et sur la formule des traces tordue stable.

1. Automorphisme de trialité : Les auteurs utilisent l'automorphisme extérieur d'ordre 3 $\theta$ du groupe déployé $PGSO_8$ (et de son revêtement simplement connexe $Spin_8$). Cet automorphisme permute les trois représentations de dimension 8 de $Spin_8$.
2. Endoscopie tordue : Le papier identifie les groupes endoscopiques tordus associés à la paire $(PGSO_8, \theta)$. Grâce à des calculs d'algèbres de Lie impliquant les points fixes de $s \cdot \theta^\vee$ dans l'algèbre de Lie duale $\mathfrak{spin}_8$, les auteurs déterminent que les groupes endoscopiques tordus elliptiques sont :
   • Le groupe exceptionnel $G_2$
   • $SL_3$
   • $SO_4$
3. Composition fonctorielle : Le relèvement adjoint est construit en composant des relèvements fonctoriels connus avec l'automorphisme de trialité. L'application $\tilde{\text{Ad}}: PGL_3(\mathbb{C}) \to Spin_8(\mathbb{C})$ est identifiée comme le relèvement unique de la représentation adjointe. La stratégie consiste à :
   • Établir un relèvement endoscopique tordu de $SL_3$ vers $PGSO_8$.
   • Combiner cela avec le pullback de $GL_3$ vers $SL_3$ et le relèvement standard de $PGSO_8$ vers $SO_8$ (et subséquemment vers $GL_8$).
4. Formule des traces tordue stable : L'existence du relèvement est démontrée en utilisant la formule des traces tordue stable pour $(PGSO_8, \theta)$, telle que développée par Moeglin et Waldspurger. Les auteurs isolent des familles spécifiques de Hecke-Satake pour montrer que le côté spectral de la formule détecte le relèvement désiré.
5. Critères de cuspidalité : Pour analyser la décomposition de $\text{Ad}(\pi)$, le papier utilise des identités de fonctions L (impliquant spécifiquement les fonctions L $\wedge^3$ et $\text{Sym}^2$) et des critères de cuspidalité connus pour les relèvements de Rankin-Selberg et du carré extérieur (par exemple, les résultats de Kim, Shahidi, Ramakrishnan, Wang, Asgari et Raghuram).

Contributions et résultats clés

1. Existence du relèvement adjoint

Théorème 1.2 : Le papier prouve l'existence du relèvement adjoint faible $\text{Ad}(\pi)$ pour une représentation cuspidale $\pi$ de $GL_3$ sur un corps de nombres, à condition que $\pi$ possède une composante locale de série discrète en une place finie $v_0$.

• Note : Les auteurs notent que la condition locale peut probablement être supprimée grâce à une analyse plus approfondie de la formule des traces impliquant tous les groupes endoscopiques tordus, une tâche reportée à un travail futur conjoint.

2. Classification des décompositions isobares

Le papier fournit un « critère de cuspidalité » complet pour $\text{Ad}(\pi)$, catégorisant la décomposition en fonction de l'origine de $\pi$ :

• Induction automorphe à partir d'extensions cubiques :
  • Cas galoisien : Si $\pi$ est induite à partir d'une extension cubique cyclique, $\text{Ad}(\pi)$ contient des sommes directes de $GL_1$ (spécifiquement, les caractères cubiques associés à l'extension). La décomposition est de type $1+1+3+3$ ou $1+8$ (somme de 8 caractères cubiques).
  • Cas non galoisien : Si $\pi$ est induite à partir d'une extension cubique non cyclique, $\text{Ad}(\pi)$ contient une somme directe cuspidale de $GL_2$. La décomposition est de type $2+6$, $2+3+3$ ou $2+4$.
• Twist de représentations autoduales :
  • Si $\pi$ est un twist d'une représentation cuspidale autoduale (ce qui correspond au relèvement Gelbart-Jacquet d'une forme $GL_2$), $\text{Ad}(\pi)$ contient une somme directe cuspidale de $GL_3$. La décomposition est de type $3+5$.
• Cas général (non induction, non autodual) :
  • Si $\pi$ n'est pas une induction automorphe à partir d'une extension cubique et n'est pas un twist d'une représentation autoduale, $\text{Ad}(\pi)$ est soit :
    • Cuspidale : Se produisant lorsque le changement de base de $\pi$ vers toute extension quadratique n'est pas une induction automorphe.
    • Somme de deux $GL_4$ : Se produisant lorsque le changement de base vers une extension quadratique $K$ est une induction automorphe à partir de quatre extensions cubiques non cycliques distinctes de $K$. Dans ce cas, $\text{Ad}(\pi)$ est la somme de deux représentations cuspidales autoduales $GL_4$ avec des caractères centraux non triviaux.

3. Propriétés des fonctions L

Le papier établit que pour le cas général (où $\text{Ad}(\pi)$ est un paramètre L orthogonal discret), l'ordre du pôle en $s=1$ de la fonction L du cube extérieur $L_S(s, \text{Ad}(\pi), \wedge^3)$ est égal au nombre de termes dans la décomposition isobare de $\text{Ad}(\pi)$.

4. Applications

• Conjecture forte d'Artin : L'existence du relèvement implique la Conjecture forte d'Artin pour les représentations galoisiennes « tétraédriques » de dimension 3 (Théorème 1.4). Il s'agit de représentations analogues aux représentations tétraédriques de dimension 2 démontrées par Langlands.
• Bornes de Ramanujan-Petersson : Le papier déduit une nouvelle borne pour les valeurs propres de Hecke des représentations cuspidales de $GL_3$.
  Théorème 1.5 : Pour une représentation cuspidale $\pi$ de $GL_3$ avec un caractère central unitaire et une composante locale de série discrète, si $|\lambda| = q_v^a$ est une valeur propre du paramètre de Satake, alors :
  $$|a| \leq \frac{1}{4} - \frac{1}{130}$$
  Cela améliore les bornes précédentes (par exemple, $5/14$ de Blomer-Brumley) en utilisant les propriétés du relèvement adjoint vers $GL_8$ et en appliquant les bornes de Luo-Rudnick-Sarnak à la représentation relevée.

Importance et affirmations

Le papier affirme être le premier à construire explicitement le relèvement adjoint pour $GL_3$ en utilisant le principe de trialité et la formule des traces tordue stable. Il souligne que l'automorphisme de trialité de $PGSO_8$ fournit un mécanisme puissant pour relier $GL_3$ à $GL_8$ via le groupe exceptionnel $G_2$ et $SL_3$.

Les auteurs soulignent que les résultats fournissent une description complète des fibres et de l'image du relèvement adjoint en termes d'induction automorphe et d'autodualité. Cela contribue à la compréhension de la multiplicité et de la rigidité des paquets cuspidaux L pour $SL_3$, un domaine où les propriétés de multiplicité unique échouent pour $n \geq 3$.

Le papier reconnaît modestement que la suppression de la condition locale « série discrète » dans le théorème d'existence repose sur un travail technique supplémentaire concernant l'annulation des termes dans la formule des traces, qui fait l'objet d'une collaboration en cours. Cependant, l'analyse structurelle du relèvement (Théorème 1.3) est présentée comme une classification complète en supposant que le relèvement existe.