Résumé technique : Dualité de Koszul catégorisée des algèbres

1. Problème et contexte

La dualité de Koszul est une dualité classique entre algèbres associatives augmentées, établissant des connexions profondes entre des objets algébriques apparemment distincts. Dans le cadre classique, pour une $k$-algèbre augmentée $A$, le dual de Koszul $D_1(A)$ est défini comme l'algèbre d'endomorphismes dérivés $\text{End}_A(k)$. Sous des conditions favorables, la carte de bidualité $A \to D_1(D_1(A))$ est un équivalence, et une équivalence de type Fourier–Morita existe entre les catégories de modules sur $A$ et $D_1(A)$.

Cet article traite de la catégorisation de cette dualité. Le problème central est de généraliser la dualité de Koszul des algèbres aux $\infty$-catégories stables monoidales. Dans ce cadre, les $\infty$-catégories stables monoidales jouent le rôle des algèbres associatives, et les $\infty$-catégories de modules jouent le rôle des modules. Plus précisément, l'article étudie les phénomènes de dualité parmi les $\infty$-catégories stables monoidales associées aux algèbres d'Artin et aux algèbres sur l'opérade des petits disques de dimension 2 ($E_2$-algèbres).

2. Méthodologie et cadre

L'auteur utilise le langage des $(\infty, 1)$-catégories (quasi-catégories) et de l'algèbre supérieure, en s'appuyant sur la théorie des opérades et des $\infty$-catégories stables.

2.1. Augmentation catégorisée et dual

Soit $k$ un corps de base et $\text{Mod}_k$ la $\infty$-catégorie stable des spectres de modules sur $k$. L'article considère une $\infty$-catégorie monoidale $\mathcal{A}$ équipée d'un foncteur monoidal $\mathcal{A} \to \text{Mod}_k$, vue comme un analogue catégorisé d'une augmentation d'algèbre $A \to k$.
Le dual de Koszul de $\mathcal{A}$ est défini comme l'$\infty$-catégorie monoidale d'endomorphismes :
$$D(\mathcal{A}) = \text{End}_{\mathcal{A}}(\text{Mod}_k)$$
Cette catégorie classifie les foncteurs de modules $\mathcal{A}$ de $\text{Mod}_k$ vers $\text{Mod}_k$, avec la structure monoidale induite par la composition.

2.2. Focalisation sur les algèbres d'Artin et $E_2$

L'étude se concentre sur le cas où $\mathcal{A} = \text{LMod}_A$, la $\infty$-catégorie stable des modules à gauche sur une $E_2$-algèbre augmentée $A$ (ou une algèbre d'Artin). L'article utilise :

• Dualité de Koszul $E_n$ : La dualité classique $D_n$ pour les $E_n$-algèbres augmentées.
• Faisceaux Ind-cohérents : La $\infty$-catégorie $\text{Ind}(\text{LCoh}(A))$ des faisceaux Ind-cohérents sur $A$, qui généralise les faisceaux cohérents au cadre non connexe et dérivé.
• $t$-structures : Une analyse détaillée des $t$-structures complètes à gauche et à droite, particulièrement les $t$-structures « standard » et « dual standard » sur les catégories de modules et les catégories de faisceaux Ind-cohérents.
• Algébrisation : L'utilisation du foncteur $\Theta_k$ (adjoint à gauche du foncteur d'algèbre d'endomorphismes $E_k$) pour relier les $\infty$-catégories monoidales aux algèbres.

3. Contributions clés et résultats

3.1. Identification du dual de Koszul avec les faisceaux Ind-cohérents

L'article établit une équivalence canonique entre le dual de Koszul de la catégorie des modules sur une algèbre duale de Koszul $E_2$ et la catégorie des faisceaux Ind-cohérents.

• Théorème 1.2 (Théorème 3.6) : Si $A$ est une $E_2$-algèbre d'Artin, il existe une équivalence canonique de $\infty$-catégories monoidales :
  $$D(\text{LMod}_{D_2(A)}) \simeq \text{Ind}(\text{LCoh}(A))$$
  Ici, $D_2(A)$ est le dual de Koszul $E_2$ de $A$. Ce résultat identifie l'$\infty$-catégorie monoidale des faisceaux Ind-cohérents comme le dual de Koszul catégorisé de l'$\infty$-catégorie des modules à gauche ordinaires de $D_2(A)$. La structure monoidale sur $\text{Ind}(\text{LCoh}(A))$ est interprétée comme la composition de foncteurs $\text{Mod}_k \to \text{Mod}_k$.

3.2. Bidualité et complétion à droite

L'article étudie la carte de bidualité pour les catégories de modules. Contrairement au cas classique où $A \simeq D_1(D_1(A))$ est directement vérifié, la version catégorisée nécessite une complétion.

• Théorème 1.1 (Théorème 4.13) : Si $A$ est d'Artin, la carte de bidualité
  $$\delta_{\text{LMod}_A} : \text{LMod}_A \to D(D(\text{LMod}_A))$$
  devient une équivalence après passage à la complétion à droite de la cible. Plus précisément, si $D_t^+$ désigne la composition du foncteur de dual de Koszul $D$ suivi de la complétion à droite, alors :
  $$\text{LMod}_A \simeq D_t^+(D_t^+(\text{LMod}_A))$$
  Ceci est une généralisation catégorique de la bidualité classique $A \simeq D_1(D_1(A))$.

3.3. Complétion à gauche et $E_2$-modules

L'article relie la catégorie des modules sur le dual de Koszul $E_2$ à la complétion à gauche de la catégorie de modules originale.

• Théorème 1.3 : Il existe une équivalence de $\infty$-catégories monoidales :
  $$\widehat{b}_L(\text{LMod}_{D_2(A)}) \simeq D_t^+(D_t^+(\text{LMod}_{D_2(A)}))$$
  où $\widehat{b}_L$ désigne la complétion à gauche par rapport à la $t$-structure standard. L'article note que la $t$-structure standard sur $\text{LMod}_{D_2(A)}$ n'est généralement pas complète à gauche.

3.4. Caractéristiques structurelles et $t$-structures

Les résultats révèlent des caractéristiques structurelles subtiles de la dualité catégorisée :

• Le dual de Koszul $D(\text{LMod}_A)$ est lié à la complétion à gauche de $\text{LMod}_{D_2(A)}$.
• L'article distingue entre la $t$-structure « standard » (déterminée par la partie connexe) et la $t$-structure « dual standard » (déterminée par la sous-catégorie la plus petite contenant l'unité et fermée par colimites).
• Il est montré que pour certaines algèbres d'Artin (par exemple, les extensions à carré nul trivial), la $t$-structure sur la catégorie duale n'est pas séparée à droite, et donc pas complète à droite, nécessitant le foncteur de complétion à droite dans le théorème de bidualité.

4. Signification et affirmations

L'article affirme que ses résultats fournissent une généralisation catégorique de la dualité de Koszul classique pour les modules. En remplaçant les modules par des catégories et les faisceaux par des faisceaux de catégories, ce travail étend le paradigme de la dualité au domaine des $\infty$-catégories stables.

Les aspects clés de la signification soulignés dans le texte incluent :

1. Interprétation géométrique : L'équivalence $D(\text{LMod}_{D_2(A)}) \simeq \text{Ind}(\text{LCoh}(A))$ fournit une interprétation géométrique de la structure monoidale des faisceaux Ind-cohérents comme composition de foncteurs.
2. Raffinement de la dualité : Les résultats démontrent que la dualité de Koszul catégorisée possède des caractéristiques plus subtiles que la dualité entre $A$ et $D_2(A)$. Plus précisément, le dual de la catégorie de modules n'est pas simplement la catégorie de modules de l'algèbre duale, mais plutôt la catégorie des faisceaux Ind-cohérents.
3. Connexion à la théorie de la déformation : L'article note que ces résultats sont motivés par et connectés aux invariants catégoriques des modèles de Landau–Ginzburg (par exemple, les factorisations de matrices) et la théorie de la déformation des $\infty$-catégories stables. Le foncteur adjoint à droite $\kappa$ construit dans l'introduction joue un rôle dans l'association des classes de cohomologie de Hochschild aux déformations des $\infty$-catégories stables possédant des $t$-structures complètes à droite.
4. Généralisation : Le cadre est étendu aux $E_2$-stacks formels pointés (Section 6), suggérant que l'équivalence de bidualité tient pour les faisceaux structurels catégorisés sur ces stacks.

L'article maintient un ton modeste concernant les applications, précisant que l'application à la théorie de la déformation (impliquant spécifiquement des $t$-structures non complètes à gauche) « sera discutée dans des travaux futurs ». La contribution primaire reste l'établissement rigoureux des équivalences de dualité et l'identification des complétions nécessaires (à gauche et à droite) pour que ces équivalences tiennent dans le cadre des $\infty$-catégories.