Consensus Tracking of Perturbed Open Multi-Agent Systems with Repelling Antagonistic Interactions

Résumé technique : Suivi de consensus de systèmes multi-agents ouverts perturbés avec des interactions antagonistes répulsives

Énoncé du problème
Ce travail aborde le problème du suivi de consensus pour des systèmes multi-agents ouverts (SMAO) soumis à des adversités induites par la migration. Contrairement aux systèmes multi-agents traditionnels, les SMAO se caractérisent par des agents qui rejoignent ou quittent dynamiquement le réseau, entraînant une topologie naturellement commutée et de taille variable. Les défis spécifiques investigués incluent :

1. Perturbations non négligeables : Perturbations continues des dynamiques/états et sauts impulsifs d'état causés par les migrations d'agents.
2. Interactions antagonistes répulsives : Interactions pouvant déstabiliser le réseau, modélisées via des graphes signés dirigés où les arêtes négatives (répulsives) peuvent dominer les arêtes coopératives.
3. Graphes signés dirigés intermittemment déconnectés : La topologie du réseau est autorisée à être dirigée et peut manquer de connectivité à certains moments.

La difficulté fondamentale réside dans le fait que, lorsque les interactions répulsives dominent les interactions coopératives, le système crée des sous-systèmes instables indépendamment de la connectivité du réseau, compliquant la réalisation du suivi de consensus pour un leader de référence.

Méthodologie
Les auteurs modélisent le SMAO comme un système multi-mode multi-dimensionnel perturbé (M³D). Ce cadre intègre les variations de dimension (dues aux agents rejoignant ou quittant le réseau) et les perturbations impulsives non négligeables dans une structure unifiée.

Les étapes méthodologiques clés comprennent :

• Formulation du système : Les dynamiques des agents sont décrites par des équations linéaires avec un protocole de suivi de consensus. La topologie du réseau est représentée par un graphe signé dirigé commuté $\tilde{G}_{\sigma(t)}$. Les auteurs définissent une matrice de « Laplacien répulsif », notant que si les arêtes négatives sont plus nombreuses que les arêtes positives, la matrice possède des valeurs propres avec des parties réelles négatives, conduisant à l'instabilité.
• Dynamiques d'erreur : Le problème de suivi de consensus est transformé en une analyse de stabilité d'un système d'erreur de suivi. Ce système d'erreur est caractérisé comme un système commuté avec :
  • Des dynamiques continues régies par des matrices $\tilde{A}_{\sigma(t)}$.
  • Des sauts discrets aux instants de commutation $t_k$ causés par les migrations d'agents et les impulsions externes.
• Analyse de stabilité : Les auteurs étendent la théorie de la stabilité pour les systèmes M³D. Ils classent les modes de commutation en ensembles stables ($P_s$) et ensembles instables ($P_u$).
  • Les modes dans $P_s$ correspondent à des topologies avec uniquement des arêtes positives et un arbre couvrant dirigé enraciné au leader.
  • Les modes dans $P_u$ incluent des topologies avec uniquement des arêtes positives mais sans arbre couvrant, ou des topologies où les interactions répulsives dominent.
• Conditions de commutation : Pour assurer la stabilité malgré les sous-systèmes instables et les perturbations non négligeables, les auteurs dérivent des conditions basées sur :
  • Temps de séjour moyen par morceaux (ADT) : Une contrainte sur la fréquence de commutation.
  • Ratio de temps d'activation : Une contrainte sur le ratio de temps passé dans les modes stables par rapport aux modes instables. Spécifiquement, les graphes stabilisateurs doivent s'activer suffisamment longtemps pour neutraliser les effets déstabilisateurs des interactions répulsives.

Contributions clés

1. Extension du problème : Ce travail étend les recherches précédentes sur les SMAO (par exemple, Xue et al., 2022) en abordant le consensus sans leader sous perturbations d'état pour passer au suivi de consensus sous perturbations non négligeables et interactions antagonistes.
2. Analyse des interactions répulsives : L'article fournit une caractérisation théorique montrant que si les interactions répulsives dominent les interactions coopératives, le SMAO présente une instabilité indépendamment de la connectivité du réseau. Cela comble une lacune dans la littérature existante qui suppose souvent des interactions purement coopératives ou opposées (bipartites).
3. Nouvelle méthode d'analyse M³D : Une nouvelle méthode d'analyse est proposée qui prend en compte les perturbations non négligeables et les interactions répulsives déstabilisatrices. Contrairement aux travaux antérieurs, cette méthode :
   • Ne nécessite pas la condition de « commutation alternée ».
   • S'applique à des graphes signés qui sont dirigés et intermittemment déconnectés.
   • Gère à la fois les impulsions indépendantes de l'état et dépendantes de l'état.

Résultats
L'analyse théorique produit les résultats suivants :

• Bornitude ultime : Sous des perturbations non négligeables et des impulsions indépendantes de l'état, le système atteint un suivi de consensus ultimement borné. La borne ultime dépend de l'amplitude des perturbations et des paramètres de commutation.
• Suivi asymptotique : Si les perturbations sont négligeables (c'est-à-dire sans perturbations externes et impulsions dépendantes de l'état qui s'annulent lorsque l'erreur s'annule), un suivi de consensus asymptotique est atteint.
• Conditions de commutation : Les résultats établissent que le consensus est réalisable si le signal de commutation satisfait des conditions spécifiques de temps de séjour moyen par morceaux et de ratio de temps d'activation. Ces conditions garantissent que les modes stabilisateurs s'activent suffisamment pour contrer les modes déstabilisateurs et les perturbations.

Signification
L'article revendique une signification théorique et pratique en se concentrant sur les adversités induites par la migration dans les SMAO. Il met en évidence que les migrations d'agents peuvent introduire des perturbations abruptes et convertir des interactions coopératives en interactions antagonistes (par exemple, en raison d'attaques cyber-physiques comme des dispositifs Trojan). En démontrant que le consensus peut être maintenu même lorsque les interactions répulsives dominent, à condition que des conditions de commutation spécifiques soient remplies, ce travail offre un cadre robuste pour contrôler des réseaux flexibles dans des environnements adverses, tels que les réseaux ad hoc mobiles ou les systèmes soumis à l'épuisement dynamique des ressources. Les exemples de simulation vérifient que les conditions dérivées permettent au système d'atteindre un suivi borné en présence de perturbations persistantes et un suivi asymptotique lorsque les perturbations s'annulent.