A Mnemonic Matrix Rule for (Split) Octonionic Multiplication and its Extension to the Cayley--Dickson Tower

Résumé Technique : Une règle mnémonique matricielle pour la multiplication des octonions (scindés) et son extension à la tour de Cayley–Dickson

Énoncé du problème
La multiplication des octonions, typiquement construite via le processus de Cayley–Dickson comme des paires de quaternions $(q, p) \in \mathbb{H} \oplus \mathbb{H}\ell$, est régie par la formule :
$$(q_1 + \ell p_1)(q_2 + \ell p_2) = q_1q_2 + \ell^2 p_2p_1^* + \ell(q_2p_1 + q_1^*p_2)$$
où $\ell^2 = \pm 1$ distingue les octonions de division des octonions scindés, et $*$ désigne la conjugaison quaternionique. Bien que standard, cette formulation est numériquement laborieuse car elle mélange la conjugaison avec des produits sensibles à l'ordre. Son application directe nécessite un suivi méticuleux de quels termes sont inversés et où les conjugaisons s'appliquent, un processus sujet aux erreurs, particulièrement lors de l'extension de ces opérations aux algèbres de dimensions supérieures dans la tour de Cayley–Dickson.

Méthodologie
L'article introduit un dispositif mnémonique compact qui réorganise la multiplication des octonions en un modèle de matrice à blocs $2 \times 2$. La méthodologie centrale consiste en :

1. Représentation matricielle : Définir une application linéaire $M$ qui injecte un octonion $o = q + \ell p$ dans une matrice $2 \times 2$ sur les quaternions :
   $$M(o) = \begin{pmatrix} q & \ell^2 p^* \\ p & q^* \end{pmatrix}$$
2. Produit entrelacé : Définir une règle de multiplication spécialisée, notée $\langle \rangle$, pour ces matrices. Contrairement à la multiplication matricielle standard, cette règle applique une « inversion d'ordre » systématique à certaines contractions hors-diagonales. Pour deux matrices $A$ et $B$, le produit $A \langle \rangle B$ est calculé de telle sorte que :
   • Les blocs diagonaux sont des sommes d'un produit ordonné à droite et d'un produit ordonné à gauche (inversé).
   • Les blocs hors-diagonaux mélangent également les ordres, spécifiquement en inversant l'ordre de multiplication pour les termes impliquant les interactions « croisées » (par exemple, $bc'$ devient $c'b$).
3. Généralisation : Étendre cette construction à l'ensemble de la tour de Cayley–Dickson ($A_n$), représentant les éléments de $A_{n+1}$ comme des paires $(a, b)$ avec $a, b \in A_n$, et en appliquant la même règle de produit entrelacé aux matrices à blocs $2 \times 2$ résultantes sur $A_n$.

Contributions clés et résultats

• La règle mnémonique (R + L) : Le résultat principal est l'identification d'un motif universel pour le produit de deux éléments sous forme de Cayley–Dickson. Chaque bloc du produit résultant est la somme de exactement deux termes : un dans l'ordre naturel (droite, $R$) et un dans l'ordre inversé (gauche, $L$). Le motif est explicitement :
  $$\begin{pmatrix} R + L & L + R \\ L + R & R + L \end{pmatrix}$$
  Cette règle permet de calculer les produits des octonions (et des octonions scindés) sans avoir à redériver de manière répétée les règles de conjugaison et d'inversion d'ordre.
• Propagation à la tour de Cayley–Dickson : L'article prouve (Théorème 4.1) que ce produit entrelacé reproduit la multiplication de Cayley–Dickson pour toutes les algèbres $A_n$ de dimension $2^n$. Le motif (R + L) se propage de manière inductive, fournissant un outil de calcul unifié pour les algèbres non associatives au-delà des octonions.
• Structures matricielles sur les algèbres non associatives : L'auteur définit un produit « entrelacé » pour les matrices $2 \times 2$ sur n'importe quelle algèbre unitaire non associative. L'article établit les conditions sous lesquelles cette structure supporte des inverses à un côté (Proposition 6.2), nécessitant spécifiquement que les termes « de type déterminant » ($\Delta_L = da - cb$ et $\Delta_R = ad - cb$) appartiennent respectivement aux noyaux gauche et droit de l'algèbre.

Signification et revendications
L'article affirme que ce mnémonique explicite « (R + L) » n'apparaît pas dans la littérature classique sur les octonions ou les algèbres de composition. Sa signification réside dans :

• Utilité pédagogique : Il offre une manière visuelle et systématique de gérer la non-associativité des octonions en déplaçant la complexité des règles de conjugaison ad hoc vers un motif fixe d'inversions d'ordre.
• Efficacité computationnelle : Il fournit une méthode fiable pour calculer les produits en forme de Cayley–Dickson, réduisant la charge cognitive liée au suivi de la sensibilité de l'ordre.
• Pont théorique : Cette construction sert de pont entre le monde non associatif de la séquence de Cayley–Dickson et les formalismes matriciels classiques. Elle suggère que des formalismes structurés « de type matrice » peuvent être adaptés aux contextes non associatifs, aidant potentiellement à l'étude de la géométrie exceptionnelle, des algèbres de Jordan (telles que l'algèbre d'Albert) et des phénomènes de trialité associés à $\text{Spin}(8)$.

L'auteur note que bien que le mnémonique reste valide en tant qu'identité pour la multiplication définissante même dans les algèbres possédant des diviseurs de zéro (où $n \ge 4$), une attention particulière doit être portée à l'inversibilité et aux constructions de type déterminant dans ces régimes non alternatifs.