On the Riemann-Hilbert problem for hyperplane arrangements with a good line

Résumé technique : Sur le problème de Riemann-Hilbert pour les arrangements d'hyperplans avec une bonne droite

Énoncé du problème
Ce papier traite d'une variante du problème de Riemann-Hilbert sur le complémentaire $M(\mathcal{A})$ d'un arrangement d'hyperplans affines $\mathcal{A}$ dans $\mathbb{C}^\ell$. La question centrale est de savoir si un système local donné $\mathcal{L}$ sur $M(\mathcal{A})$ peut être réalisé comme le faisceau de solutions d'un système de Pfaff logarithmique à coefficients constants. Contrairement au cas classique où le diviseur est à croisements normaux, un arrangement d'hyperplans général définit un diviseur qui n'est pas à croisements normaux, rendant le problème non trivial. Les auteurs visent à caractériser l'image essentielle du foncteur de de Rham restreint à la catégorie de tels systèmes de Pfaff logarithmiques, notée $\text{Pf}(\log \mathcal{A})$.

Méthodologie
Les auteurs adoptent une approche fonctorielle, généralisant le concept de convolution moyenne au cadre des arrangements d'hyperplans. La méthodologie procède selon les étapes suivantes :

1. Configuration géométrique (bonnes droites) : Les auteurs introduisent la notion de « bonne droite » $Y$ pour un arrangement affine $\mathcal{A}$. Une droite $Y$ passant par l'origine est « bonne » si, pour tout élément $X$ de rang 2 dans le poset d'intersection $L(\mathcal{A})$, la somme $X + Y$ reste dans $L(\mathcal{A})$. Cette condition assure que la projection $\pi_Y: M(\mathcal{A}) \to M(\mathcal{A}_Y)$ (où $\mathcal{A}_Y$ est constitué des hyperplans parallèles à $Y$) admet une structure de fibré en fibres isomorphes à $\mathbb{C}$ privé d'un nombre fini de points. Cela généralise les résultats de Terao pour les arrangements centraux au cas affine.

2. Construction du foncteur pour les systèmes locaux : En utilisant la structure de fibré en fibres induite par une bonne droite, les auteurs définissent un foncteur de convolution moyenne $MC_\chi$ sur la catégorie des systèmes locaux $\text{Loc}(M(\mathcal{A}), \mathbb{C})$. Ceci est construit comme une généralisation de la convolution moyenne de Katz sur $\mathbb{C} \setminus \{n \text{ points}\}$. Le foncteur est défini via l'image d'un morphisme entre les images directes dérivées ($R^1 pr_{2!}$ et $R^1 pr_{2*}$) d'un produit tensoriel externe impliquant un système local de rang 1 associé à un caractère $\chi$.

3. Construction du foncteur pour les connexions : Parallèlement à la construction pour les systèmes locaux, les auteurs utilisent la définition de Haraoka d'un foncteur de convolution moyenne $mc_\lambda$ agissant sur la catégorie des systèmes de Pfaff logarithmiques à coefficients constants, $\text{Pf}(\log \mathcal{A})$. Ce foncteur opère en modifiant les matrices de coefficients des formes de connexion le long de la direction de la bonne droite $Y$.

4. Analyse de compatibilité : L'effort technique central consiste à prouver la compatibilité entre ces deux foncteurs sous la correspondance de de Rham. Les auteurs établissent un isomorphisme entre la convolution moyenne d'un système local et le foncteur de de Rham appliqué à la convolution moyenne du système de Pfaff correspondant. Cela nécessite une analyse minutieuse des applications de période, des sections multiformes et de la cohomologie des fibres, spécifiquement sous l'hypothèse 4.3, qui impose des conditions de non-résonance sur les valeurs propres des matrices de coefficients.

Contributions et résultats clés

• Généralisation de la propriété de « bonne » : Le papier étend la caractérisation par Terao des structures de fibré en fibres aux arrangements d'hyperplans affines en définissant les « bonnes droites » et en prouvant que l'existence d'une telle droite implique une structure de fibration localement triviale sur le complémentaire (Théorème 1.8).
• Définition de $MC_\chi$ : Les auteurs définissent le foncteur de convolution moyenne $MC_\chi$ pour les systèmes locaux sur les complémentaires d'hyperplans possédant une bonne droite (Définition 2.3) et prouvent qu'il satisfait une loi de composition analogue au cas classique (Théorème 2.12).
• Théorème de compatibilité : Le résultat principal est le Théorème 4.8, qui établit un isomorphisme de systèmes locaux :
  $$MC_\chi \circ DR_{Pf}(\nabla_\mathcal{A}) \cong DR_{Pf} \circ mc_\lambda(\nabla_\mathcal{A})$$
  où $\chi(1) = \exp(2\pi i \lambda)$ et $\nabla_\mathcal{A}$ satisfait l'hypothèse de non-résonance 4.3. Cela généralise les résultats précédents de Haraoka (pour les arrangements de tresses) et de Dettweiler–Reiter (pour $\mathbb{C} \setminus \{n \text{ points}\}$).
• Préservation de la résolubilité : En tant que corollaire direct, le Théorème 5.2 démontre que le foncteur de convolution moyenne préserve la résolubilité du problème de Riemann-Hilbert pour les systèmes de Pfaff logarithmiques. Plus précisément, si un système local $\mathcal{L}$ admet une solution $\nabla_\mathcal{A}$ satisfaisant les hypothèses nécessaires, alors $MC_\chi(\mathcal{L})$ admet également une solution. Inversement, si le système convolué admet une solution, le système original en admet une également (à condition que le système satisfasse la propriété $\wp$).

Signification
Le papier prétend fournir un outil structurel pour l'étude du problème de Riemann-Hilbert dans le contexte des arrangements d'hyperplans. En montrant que le foncteur de convolution moyenne préserve la propriété d'être réalisable comme solution d'un système de Pfaff logarithmique à coefficients constants, les auteurs offrent une méthode pour générer de nouveaux systèmes locaux résolubles à partir de systèmes connus. Cela étend l'applicabilité des techniques de convolution moyenne, précédemment limitées aux arrangements centraux ou à des configurations spécifiques, à une classe plus large d'arrangements affines possédant une « bonne droite ». Les résultats unifient la perspective géométrique des fibrés en fibres sur les complémentaires d'arrangements avec la manipulation algébrique des coefficients de connexion.