Perfect generation for regular algebraic stacks

1. Problématique et Contexte

Le papier s'attaque à un problème fondamental dans la théorie des catégories dérivées sur les empilements algébriques (algebraic stacks). Soit $X$ un empilement algébrique et $D_{qc}(X)$ la catégorie dérivée des complexes à cohomologie quasi-cohérente.

• Contexte connu : Pour les schémas quasi-compacts et quasi-séparés, il est classique (théorème de Bondal-Van den Bergh) que $D_{qc}(X)$ est engendrée par un seul objet compact.
• Difficulté pour les empilements : Pour les empilements algébriques généraux, les complexes parfaits ($Perf(X)$) ne sont pas nécessairement compacts dans $D_{qc}(X)$. Bien que des résultats d'engendrement compact aient été obtenus pour certaines classes d'empilements (par Hall-Rydh, Toën, etc.), la question de savoir si $D_{qc}(X)$ est engendrée par un seul objet (single object generation) restait ouverte, en particulier pour les empilements réguliers sans hypothèse de séparabilité forte ou de dimension finie de Krull.
• Objectif de l'article : Établir que pour un empilement algébrique régulier, noethérien, quasi-compact, quasi-séparé et à diagonale quasi-finie, la catégorie $D_{qc}(X)$ est engendrée par un seul complexe parfait (qui n'est pas nécessairement compact).

2. Méthodologie et Outils Techniques

L'auteur développe une approche combinant plusieurs techniques avancées de géométrie algébrique et de théorie des catégories triangulées :

1. Recollement (Recollement) :
   L'outil central est l'utilisation de la structure de recollement pour les catégories dérivées. Pour une immersion ouverte quasi-compacte $j: U \hookrightarrow X$ de complément fermé $Z$, il existe un recollement reliant $D_{qc}(U)$, $D_{qc}(X)$ et $D_{qc, Z}(X)$ (les complexes à support dans $Z$). L'article utilise des lemmes (Lemmes 3.5, 3.7) permettant de « coller » des générateurs de $D_{qc}(U)$ et $D_{qc, Z}(X)$ pour obtenir un générateur pour $D_{qc}(X)$.

2. Filtrations et Séquences de Découpage (Splitting Sequences) :
   L'auteur s'appuie sur les présentations des empilements algébriques développées par Hall et Rydh ([HR18]). Plus précisément, il utilise l'existence d'une séquence de découpage monomorphique (monomorphic splitting sequence) pour un revêtement de Nisnevich. Cela permet de procéder par récurrence sur la longueur de cette séquence, réduisant le problème global à des problèmes locaux sur des sous-empilements localement fermés.

3. Dualité et Morphismes Finis :
   Le papier utilise des propriétés de dualité pour les morphismes finis (Lemme 4.1). Il montre que si un morphisme fini $f: Y \to X$ satisfait certaines conditions (notamment $Rf_* \mathcal{O}_Y \in Perf(X)$), alors l'engendrement de $D_{qc}(Y)$ implique celui de $D_{qc, f(|Y|)}(X)$.

4. Condition de Thomason :
   L'article introduit et manipule la condition $\beta$-Thomason. Un empilement satisfait cette condition si $D_{qc}(X)$ est engendrée par un ensemble de cardinalité $\le \beta$ et si pour tout fermé $Z$ à complément quasi-compact, il existe un complexe parfait dont le support est exactement $Z$.

3. Résultats Principaux

Théorème Principal (Théorème 1.1)

Soit $X$ un empilement algébrique régulier, noethérien, quasi-compact, quasi-séparé, à diagonale quasi-finie.

Résultat : Il existe un complexe parfait $P \in Perf(X)$ qui engendre $D_{qc}(X)$.

• Nouveauté : Ce résultat ne suppose pas que la diagonale est séparée ni que $X$ est « concentré » (concentrated). Il s'applique à des cas nouveaux, y compris des empilements de Deligne-Mumford en caractéristique arbitraire (sous hypothèse de régularité).
• Note importante : Le générateur $P$ est un complexe parfait, mais l'auteur note qu'il n'est pas prouvé qu'il soit compact dans le cas général (voir Remarque 4.5).

Corollaire 1.2 (Cas Concentré)

Si $X$ est un empilement algébrique régulier, concentré, à diagonale quasi-finie :

Résultat : $D_{qc}(X)$ est singly compactly generated (engendrée par un seul objet compact).

Ce résultat améliore les travaux antérieurs de Hall ([Hal22]) en supprimant l'hypothèse de dimension de Krull finie et en garantissant l'existence d'un seul générateur compact.

Résultats Techniques Intermédiaires

• Proposition 4.3 : La condition de Thomason est préservée par des morphismes finis, plats et surjectifs.
• Lemme 4.4 : La condition de Thomason est préservée par des immersions quasi-affines injectives.
• Corollaire 4.7 : Pour un empilement régulier comme ci-dessus, la sous-catégorie $D_{qc, Z}(X)$ (à support dans un fermé $Z$) est engendrée par un seul complexe parfait.

4. Signification et Impact

1. Génération par un seul objet : L'article établit un analogue fort du théorème de Bondal-Van den Bergh pour une classe large d'empilements algébriques. Cela simplifie considérablement l'étude de la structure de $D_{qc}(X)$, permettant l'application de techniques de théorie des modèles et de catégories dérivées qui requièrent un générateur unique.
2. Indépendance de la séparabilité : En levant l'hypothèse de diagonale séparée, le résultat s'applique à des empilements avec des stabilisateurs non triviaux ou des comportements géométriques plus complexes, élargissant le champ d'application de la théorie des catégories dérivées en géométrie algébrique.
3. Nouveaux cas de génération compacte : Pour les empilements « concentrés » (où les objets compacts coïncident avec les complexes parfaits), le résultat garantit l'existence d'un générateur compact unique, ce qui est crucial pour la K-théorie et l'étude des foncteurs dérivés.
4. Outils de recollement : La démonstration met en lumière l'utilité des techniques de recollement pour « coller » des générateurs locaux, une méthode qui pourrait être réutilisée pour d'autres problèmes de génération dans les catégories triangulées.

En résumé, ce papier résout une question ouverte majeure concernant la structure de génération des catégories dérivées sur les empilements réguliers, en combinant des présentations géométriques fines (Hall-Rydh) avec des outils catégoriels puissants (recollement, dualité).