Beyond the imbalance: site-resolved dynamics probing resonances in many-body localization

Résumé Technique : Au-delà de l'déséquilibre : Sondage de la dynamique résolue par site des résonances dans la localisation à plusieurs corps

Énoncé du problème
La localisation à plusieurs corps (MBL) est un mécanisme empêchant la thermalisation quantique dans les systèmes désordonnés en interaction. Bien que le diagnostic standard de la MBL soit « l'déséquilibre » ($I_m(t)$) — une mesure spatialement moyennée de la mémoire d'un état initial de vague de densité — cet article soutient qu'un tel moyennage spatial occulte des caractéristiques microscopiques cruciales. Plus précisément, les auteurs étudient si l'observable de l'déséquilibre standard cache des phénomènes dynamiques locaux, tels que les résonances, qui sont critiques pour comprendre la transition entre les phases ergodiques et localisées. Ce travail aborde les limites de l'interprétation de la décroissance de l'déséquilibre à long terme uniquement par des moyennes spatiales, notant que les décroissances en loi de puissance ultra-lentes dans les calculs numériques ont été interprétées de manière controversée comme des signes d'une éventuelle thermalisation.

Méthodologie
Les auteurs se concentrent sur le régime fortement désordonné de la chaîne de spins XXZ à champ aléatoire ($L$ sites, force du désordre $h$, interaction $\Delta$). Ils emploient deux techniques numériques principales :

1. Diagonalisation Complète (ED) : Utilisée pour des systèmes allant jusqu'à $L=18$ (dans le secteur de magnétisation nulle) pour calculer les états propres exacts et les limites de temps infini.
2. Évolution Temporelle de Krylov : Utilisée pour des systèmes plus grands ($L$ jusqu'à 24) pour simuler l'évolution unitaire jusqu'à $t \approx 10^4$.

Au lieu de s'appuyer uniquement sur l'déséquilibre standard $I_m(t) = \frac{1}{L} \sum_j Z^m_j(t)$, l'étude se centre sur l'autocorrélateur local résolu par site $Z^m_j(t) = \langle m | \sigma^z_j(0) \sigma^z_j(t) | m \rangle$. Les auteurs analysent systématiquement les distributions de ces quantités locales sous différents protocoles de moyennage :

• Moyennage spatial : Somme sur les sites $j$.
• Moyennage de l'état initial : Somme sur $N_s$ états produits distincts (trace partielle) ou sur l'espace de Hilbert complet (trace complète/température infinie).
• Moyennage du désordre : Somme sur $N_r$ réalisations de champs aléatoires.

Pour interpréter les résultats numériques, les auteurs construisent un modèle jouet analytique à peu de sites. Ce modèle traite les résonances locales comme des clusters effectifs à peu de corps (2 sites et 3 sites) noyés dans un fond de spins gelés (ancrés), permettant la dérivation de prédictions analytiques pour les limites de temps long des observables locales.

Contributions Clés et Résultats

1. Masquage des Résonances Locales par le Moyennage Spatial :
   L'étude démontre que l'déséquilibre standard $I_m(t)$ présente un plateau stable cohérent avec la MBL, mais ce moyennage occulte complètement le comportement des sites individuels. Alors que la plupart des sites restent polarisés (conservant la mémoire de l'état initial), une petite fraction de sites présente de fortes fluctuations et décroît vers zéro. Ces sites « fluctuants » correspondent à des régions locales où les champs aléatoires sont presque identiques (par exemple, $h_j \approx h_{j+1}$), créant des résonances locales.

2. Structure Multi-pics dans les Distributions Locales :
   En analysant les histogrammes des autocorrélateurs locaux à long terme ($P(Z^m_j)$ et $P(\mathcal{A}_j)$), les auteurs révèlent une structure riche occultée par les moyennes.

   • La distribution des observables résolues par site montre un pic dominant près de 1 (spins gelés) et des pics secondaires distincts à des valeurs plus basses (par exemple, $\approx 0,6$ pour les résonances à 2 corps et $\approx 0,46$ pour les résonances à 3 corps dans le cas de Heisenberg).
   • Ces pics secondaires sont les signatures de résonances à peu de corps où les spins basculent de manière cohérente en raison de niveaux d'énergie quasi dégénérés.

3. Validation Analytique via un Modèle Jouet :
   Les auteurs dérivent des expressions fermées pour les limites de temps long de ces résonances en utilisant un hamiltonien effectif à 2 sites et 3 sites.

   • Pour les résonances à 2 corps avec $\Delta=1$, la prédiction analytique pour la position du pic est $A \approx \frac{5}{8} - \frac{3}{8(L-1)}$.
   • Pour les résonances à 3 corps, des pics distincts pour les sites centraux et de bord sont prédits.
   • Ces prédictions analytiques s'alignent quantitativement avec les histogrammes numériques, confirmant que les pics secondaires proviennent de clusters de résonance spécifiques à peu de corps.

4. Mise à l'échelle de la Taille Finie et Dépendance de l'État Initial :
   Une découverte majeure est la forte dépendance de l'déséquilibre à long terme vis-à-vis de l'état initial et de la taille du système, pilotée par ces résonances :

   • États Aléatoires Génériques : L'déséquilibre moyen approche la limite thermodynamique par le bas (corrections négatives en $1/L$). Cela est dû à l'occurrence rare de sites résonants qui abaissent la moyenne.
   • État de Néel ($|\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\dots\rangle$) : L'déséquilibre approche la limite thermodynamique par le haut (corrections positives en $1/L$). Comme l'état de Néel consiste entièrement en des liaisons basculables ($\uparrow\downarrow$), il maximise le couplage aux modes résonants, conduisant à un comportement de mise à l'échelle de taille finie différent de celui des états aléatoires.
   • État de Mur de Domaine : Présente un comportement intermédiaire avec des corrections de taille finie spécifiques.

5. Détectabilité Expérimentale :
   L'article établit que ces effets de résonance sont détectables sous des conditions expérimentales réalistes. Les pics secondaires dans la distribution des autocorrélateurs locaux peuvent être résolus avec un nombre relativement faible d'états initiaux ($N_s \sim 20-50$) et des fenêtres temporelles modérées ($t \approx 500$), à condition qu'une imagerie résolue par site soit disponible.

Signification et Revendications
L'article affirme que « l'déséquilibre » n'est pas une sonde universelle de la MBL mais est hautement sensible aux conditions initiales spécifiques et à la méthode de moyennage. Les auteurs soutiennent que :

• Des Sondes Affinées sont Nécessaires : Pour comprendre pleinement la MBL et son lien avec les effets de régions rares, il faut dépasser les quantités spatialement moyennées pour passer à une dynamique résolue par site.
• Réinterprétation de la Dynamique Lente : La décroissance lente de l'déséquilibre observée dans les études numériques à temps fini (partant souvent d'états de Néel) ne doit pas nécessairement indiquer une thermalisation éventuelle. Elle pourrait représenter un passage transitoire d'une valeur de taille finie (approchée par le haut) vers une valeur asymptotique non nulle plus petite.
• Rôle des Résonances Rares : Les résonances à court rayon d'action à peu de corps, dont la probabilité d'occurrence suit une loi en $1/h$ (pour 2 corps) et $1/h^2$ (pour 3 corps), gouvernent la mise à l'échelle de la taille finie de l'déséquilibre dans le régime de fort désordre.
• Pertinence Expérimentale : Avec l'avènement de l'imagerie de haute précision résolue par site dans les atomes ultra-froids et les circuits supraconducteurs, les structures multi-pics prédites et les mises à l'échelle de taille finie dépendantes de l'état initial sont directement testables.

Le travail conclut qu'une « approche raffinée, résolue par site » est essentielle pour démêler la complexité de la dynamique MBL, particulièrement l'interaction entre le comportement localisé et les rares instabilités résonantes.