Large Deviations for the d'Arcais Numbers

Résumé Technique : Déviations Large pour les Nombres de d'Arcais

Énoncé du Problème
Cet article étudie le comportement asymptotique des coefficients des polynômes de d'Arcais, notés $P_n(z)$. Ces polynômes sont définis via la fonction génératrice :
$$\sum_{n=0}^{\infty} P_n(z) q^n = \exp\left(-z \ln((q; q)_\infty)\right)$$
où $(q; q)_\infty = \prod_{k=1}^\infty (1-q^k)$ est le symbole $q$-Pochhammer. Les coefficients sont donnés par $P_n(z) = \sum_{k=1}^n A(2, n, k) z^k / n!$. L'objet principal d'étude est la suite de coefficients normalisée $a(n, k) = k! A(2, n, k) / n!$.

Le travail est motivé par les résultats récents d'Abdesselam concernant le nombre de $\ell$-uplets commutants de permutations de $[n]$ avec une taille d'orbite fixée. Alors qu'Abdesselam a établi un Théorème Limite Central Local (TLCL) et la log-concavité pour la « région de typicalité » (où la taille de l'orbite suit une échelle $x\sqrt{n}$), cet article se concentre sur le régime des déviations larges (large deviations). Plus précisément, il analyse les asymptotiques de $a(n, k)$ lorsque $n \to \infty$ où le rapport $k_n/n \to \kappa \in [0, 1)$, en supposant $k_n \to \infty$.

Méthodologie
La preuve repose sur la méthode du point selle (plus précisément la version de Hayman) appliquée à la formule intégrale de Cauchy. Les auteurs utilisent la structure de la fonction génératrice des nombres de d'Arcais, qui sont identifiés comme la transformée de Bell de l'indice d'abondance $\sigma(n)/n$.

Étapes techniques clés :

1. Analyse de la Fonction Génératrice : Les auteurs définissent une fonction $F(y) = -\ln((e^{-y}; e^{-y})_\infty)$, qui est liée à la fonction génératrice de l'indice d'abondance. Ils analysent les propriétés de $F(y)$, de ses dérivées et de ses propriétés de symétrie modulaire dérivées de la fonction êta de Dedekind.
2. Intégration sur un Contour : Le coefficient $a(n, k)$ est exprimé comme une intégrale de contour :
   $$a(n, k) = \frac{1}{2\pi i} \oint z^{-n} \exp\left(k \ln(-\ln((z; z)_\infty))\right) dz$$
   Le chemin d'intégration est un cercle de rayon $e^{-y}$, où $y$ est choisi pour satisfaire une équation de point selle.
3. Arcs Majeurs et Mineurs : Suivant la méthode du cercle de Hardy-Ramanujan, l'intégrale est divisée en un « arc majeur » (un voisinage étroit de $\theta=0$) et un « arc mineur ».
   • Arc Majeur : L'intégrande est développée en séries de Taylor. Les auteurs établissent des bornes uniformes pour les coefficients et les termes d'erreur lorsque $y \to 0^+$, en utilisant la symétrie modulaire de $F(y)$ pour traiter la singularité en $y=0$.
   • Arc Mineur : Des bornes uniformes sont dérivées pour montrer que la contribution de l'arc mineur est exponentiellement petite par rapport à l'arc majeur. Cela implique de prouver une borne inférieure pour $1 - |F(y-i\theta)|^2/F(y)^2$ en utilisant la mesure de probabilité $\rho_n(y)$ associée à l'indice d'abondance.
4. Transformée de Legendre-Fenchel : La fonction de taux de la déviation large est identifiée comme la transformée de Legendre-Fenchel d'une fonction $g$ spécifique, dérivée de l'inverse de $f(y) = \ln(F(y))$.

Contributions Clés et Résultats

1. Formule de Déviation Large de Type Bahadur-Rao :
   Le résultat principal (Théorème 3.1) fournit une formule asymptotique pour $a(n, k_n)$ lorsque $n \to \infty$ avec $k_n/n \to \kappa \in [0, 1)$ et $k_n \to \infty$ :
   $$\frac{k_n! A(2, n, k_n)}{n!} \sim \frac{\exp(k_n \ln(F(y_n)) + n y_n)}{\sqrt{2\pi k_n \left( \frac{F''(y_n)}{F(y_n)} - \left(\frac{F'(y_n)}{F(y_n)}\right)^2 \right)}}$$
   Ici, $y_n$ est l'unique solution de $-F'(y_n)/F(y_n) = 1/\kappa_n$ (où $\kappa_n = k_n/n$).

2. Log-concavité dans le Régime de Déviation Large :
   Le Corollaire 3.2 établit que la suite $a(n, k)$ est log-concave pour $n$ suffisamment grand dans ce régime. Plus précisément, le rapport $\frac{a(n, k)^2}{a(n, k-1)a(n, k+1)}$ est montré être positif et asymptotiquement équivalent à une fonction spécifique de $y_n$ et $n$. Cela étend les résultats de log-concavité précédemment connus uniquement pour la région de typicalité ($k \sim \sqrt{n}$) au régime de déviation large.

3. Asymétrie de la Fonction de Taux :
   L'article prouve que la fonction de taux de déviation large n'est pas symétrique. Cela est démontré en montrant que la fonction $F(y)F(y + \ln(F(y)))$ n'est pas identiquement égale à 1, une condition qui serait nécessaire pour la symétrie. L'asymétrie est liée aux propriétés modulaires spécifiques de la fonction êta de Dedekind.

4. Connexion avec l'Indice d'Abondance :
   Les auteurs relient explicitement les nombres de d'Arcais à la transformée de Bell de l'indice d'abondance $\sigma(n)/n$. L'analyse asymptotique repose fortement sur les propriétés analytiques de la fonction génératrice de l'indice d'abondance, qui est $F(y)$.

Signification et Portée
L'article prétend fournir une dérivation alternative de la log-concavité pour le cas $\ell=2$ (paires de permutations commutantes) dans un régime distinct des résultats de TLCL d'Abdesselam. Les auteurs notent que pour $\ell=2$, la fonction génératrice pertinente possède une symétrie modulaire (via la fonction êta de Dedekind), ce qui facilite la dérivation de ces asymptotiques.

Les auteurs sont modestes quant à la portée de leurs résultats :

• Ils se concentrent strictement sur $\ell=2$. Ils n'étendent pas les résultats à $\ell > 2$, notant que si Abdesselam a des résultats pour la région de typicalité pour des $\ell$ plus élevés, le régime de déviation large pour $\ell > 2$ reste un problème ouvert nécessitant une meilleure compréhension des propriétés de quasi-modularité potentielles.
• Ils reconnaissent que leurs résultats couvrent la région où $k/n \to \kappa < 1$, laissant le cas limite où $n-k$ est d'ordre 1 (couvert par Tripathi) et la région où $k/n \to 1$ en dehors du champ actuel de l'étude.
• Le travail sert d'application autonome de la méthode du cercle sans fractions de Farey, contrastant avec l'appareil plus complexe requis pour l'indice d'abondance directement, et sert d'introduction à la formule de partition de Hardy-Ramanujan dans l'appendice.

En résumé, l'article établit des asymptotiques précises de déviation large pour les nombres de d'Arcais, prouve la log-concavité dans ce régime, et souligne le rôle de la symétrie modulaire dans ces problèmes combinatoires, tout en reportant la généralisation aux $\ell$-uplets commutants d'ordre supérieur à des travaux futurs.