Pro-étale motives and solid rigidity

1. Problématique et Contexte

L'article s'attaque à plusieurs défis fondamentaux dans la théorie des motifs et la cohomologie $\ell$-adique sur les schémas :

• Limites des systèmes de coefficients classiques : La théorie des faisceaux $\ell$-adiques constructibles (construite par BBDG et Ekedahl) est bien comprise mais présente des défauts majeurs. Notamment, la complétion $\ell$-adique catégorique (au sens d'Ekedahl) ne commute pas bien avec la rationalisation (le produit tensoriel par $\mathbb{Q}$ donne zéro), ce qui empêche une théorie unifiée incluant les coefficients rationnels. De plus, la théorie des faisceaux sur le site étale usuel ne possède pas toutes les propriétés de fonctorialité souhaitées (comme le changement de base propre) pour les coefficients topologiques comme $\mathbb{Z}_\ell$ ou $\mathbb{Q}_\ell$.
• Absence de six opérations pour les faisceaux solides sur les schémas : Dans le monde analytique rigide, Fargues et Scholze ont développé la théorie des faisceaux solides (solid sheaves) qui permet de gérer la complétude non-archimédienne. Cependant, dans le cadre analytique, ces faisceaux ne supportent qu'un formalisme de "5 foncteurs" (l'absence de la formule de projection propre empêche le sixième foncteur). Il n'existait pas jusqu'alors de théorie analogue robuste pour les schémas permettant d'obtenir un formalisme complet des six opérations.
• Réalisation $\ell$-adique : Il manque un cadre où les foncteurs de réalisation $\ell$-adique soient exceptionnellement bien comportés, stables par changement de base, et compatibles avec la rationalisation, tout en restant dans des catégories présentables.

2. Méthodologie

Les auteurs adoptent une approche combinant la géométrie algébrique moderne, la théorie des catégories condensées et la théorie des motifs :

1. Motifs Pro-étale : Ils définissent une catégorie de motifs pro-étales ($SH_{pro\acute{e}t}$) en remplaçant la topologie étale par la topologie pro-étale (introduite par Bhatt et Scholze) et en utilisant des schémas "faiblement lisses" (weakly smooth) au lieu des schémas lisses classiques. Cela permet de capturer les topologies naturelles des anneaux comme $\mathbb{Z}_\ell$ et $\mathbb{Q}_\ell$.
2. Solidification via la théorie des catégories condensées : En s'appuyant sur les travaux de Clausen-Scholze et Fargues-Scholze, les auteurs utilisent la théorie des catégories condensées (développée par Marcolli, Wolf, etc.) pour définir un processus de solidification. Ils considèrent les catégories de motifs comme des catégories condensées et appliquent une tensorisation avec la catégorie des modules solides ($Solid_\Lambda$).
3. Localisation et Théorème de Rigidité : Ils construisent une version "solide" des motifs ($DM_{pro\acute{e}t}^\blacksquare$) et prouvent un théorème de rigidité qui établit une équivalence entre les faisceaux solides et les motifs solides sous certaines conditions d'inversibilité des nombres premiers.

3. Contributions Clés et Résultats Principaux

A. Définition des Faisceaux Solides sur les Schémas (Section 1)

Les auteurs adaptent la théorie des faisceaux solides de Fargues-Scholze au contexte des schémas.

• Pour un schéma $X$ et un ensemble de nombres premiers $P$, ils définissent la catégorie abélienne des faisceaux solides $\text{Sh}(X, \widehat{\mathbb{Z}}_P)^\blacksquare$ comme une localisation réflexive des faisceaux pro-étales.
• Théorème A : Ils établissent que cette catégorie est abélienne, compactement générée, et stable par limites/colimites. Ils montrent que les complexes constructibles (au sens de HRS23) sont solides.
• Résultat majeur : Contrairement au cas analytique, les catégories dérivées de faisceaux solides sur les schémas ($D(X, \Lambda)^\blacksquare$) supportent un formalisme complet des six opérations (théorème E), à condition que les nombres premiers de $P$ soient inversibles sur le schéma.

B. Motifs Pro-étales et Six Opérations (Section 2)

Ils construisent la catégorie des motifs pro-étales $SH_{pro\acute{e}t}(X)$.

• Théorème B : Ils prouvent que cette catégorie admet un formalisme des six opérations. Une subtilité technique réside dans le fait que les foncteurs exceptionnels ($f_!, f^!$) sont définis pour les morphismes de présentation finie, et non seulement de type fini, en raison de problèmes de compacité des ouverts complémentaires dans le contexte pro-étale.
• Théorème d'Embedding : Pour les schémas localement bornés étale, les motifs étales classiques s'injectent pleinement fidèlement dans les motifs pro-étales.

C. Le Théorème de Rigidité (Section 3)

C'est le cœur de l'article. Ils définissent les motifs solides en solidifiant les catégories de motifs pro-étales.

• Théorème D : Le foncteur d'inclusion des faisceaux solides dans les motifs solides est pleinement fidèle et commute aux limites, colimites et changements de base.
• Théorème E (Rigidité) : Sous l'hypothèse que les nombres premiers de $P$ sont inversibles sur $X$, le foncteur de solidification induit une équivalence :
  $$D(X, \Lambda)^\blacksquare \xrightarrow{\sim} DM(X, \Lambda)^\blacksquare$$
  Cela signifie que les faisceaux solides sont "rigides" : ils sont entièrement déterminés par la théorie des motifs.
• Conséquence : Puisque les motifs pro-étales ont les six opérations, les faisceaux solides sur les schémas en héritent également. Cela résout le problème de l'absence du sixième foncteur dans le cadre analytique.

D. Foncteurs de Réalisation (Section 3)

• Foncteur de Réalisation Solide : Ils construisent un foncteur de réalisation $\rho^\blacksquare : DM_{\acute{e}t} \to D(X, \Lambda)^\blacksquare$.
• Compatibilité : Ce foncteur est compatible avec le changement de coefficients.
• Proposition F : Ce cadre permet de récupérer les foncteurs de réalisation $\ell$-adiques classiques ($\rho_\ell$) et $Q_\ell$-adiques ($\rho_{\mathbb{Q}_\ell}$) comme restrictions du foncteur solide. Contrairement aux approches précédentes, ce foncteur reste dans un cadre de catégories présentables et commute avec la rationalisation.

4. Signification et Impact

1. Unification des Cohomologies : L'article fournit un cadre unifié pour la cohomologie $\ell$-adique, la cohomologie étale et les coefficients topologiques, en utilisant la structure des motifs pro-étales et la solidité.
2. Extension du Formalisme des Six Opérations : C'est la première fois qu'un formalisme complet des six opérations est établi pour les faisceaux solides sur les schémas, comblant une lacune importante par rapport à la théorie analytique de Fargues-Scholze.
3. Stabilité par Changement de Base : La réalisation $\ell$-adique construite est stable par changement de base (même en caractéristique mixte), une propriété qui échouait pour le motif $\mathbb{Z}_\ell^\wedge$ classique.
4. Outils pour les Motifs de Nori : L'article ouvre la voie à une définition de motifs de Nori (via des algèbres dans la catégorie des motifs) et suggère des généralisations spectrales pour les "motifs de Nori spectraux".

En résumé, ce travail réussit à "solidifier" la théorie des motifs sur les schémas, offrant un cadre robuste, présentable et doté de toutes les fonctorialités attendues pour étudier la cohomologie avec des coefficients topologiques complexes.