Résumé Technique : Sur certains fonctionnels impliquant la rigidité torsionnelle, la première valeur propre et le périmètre

1. Énoncé du problème

Cet article étudie l'interaction entre deux quantités géométriques fondamentales associées au Laplacien sur un domaine $\Omega \subset \mathbb{R}^m$ : la rigidité torsionnelle $T(\Omega)$ et la première valeur propre de Dirichlet $\Lambda(\Omega)$. Alors que l'inégalité de Saint–Venant établit que les boules maximisent la rigidité torsionnelle pour un volume (ou un périmètre) fixé, et que l'inégalité de Faber–Krahn établit que les boules minimisent la première valeur propre pour un volume (ou un périmètre) fixé, le comportement de leur produit est non trivial en raison de ces propriétés extrémales opposées.

L'objectif principal est d'optimiser le produit $\Lambda(\Omega)T(\Omega)$ sous une contrainte de périmètre prescrite. Les auteurs définissent le fonctionnel invariant par changement d'échelle :
$$G(\Omega) := \frac{T(\Omega)\Lambda(\Omega)}{P(\Omega)^{\frac{m}{m-1}}}$$
où $P(\Omega)$ désigne le périmètre de De Giorgi. L'étude est menée à travers trois classes distinctes de domaines :

1. $\mathcal{O}$ : La classe des sous-ensembles ouverts de $\mathbb{R}^m$ à périmètre fini.
2. $\mathcal{C}$ : La sous-classe des ensembles ouverts, bornés et convexes.
3. $\mathcal{S}_{\delta, \gamma}$ : La classe des ensembles « presque sphériques » (perturbations de la boule unité $B_1$).

De plus, l'article généralise ce problème à une famille de fonctionnels $F_q(\Omega) = T(\Omega)^q \Lambda(\Omega) V(\Omega)^{-\alpha_q}$ (où $\alpha_q = \frac{(m+2)q-2}{m}$) et à une généralisation correspondante $G_q(\Omega)$ sous contrainte de périmètre.

2. Méthodologie

Les auteurs emploient une combinaison de la théorie de l'optimisation de forme, de l'analyse spectrale et des inégalités géométriques.

• Dérivées de forme et stabilité : L'outil analytique central est le calcul des variations pour les fonctionnels de forme. Les auteurs utilisent le théorème de structure pour les premières et secondes dérivées de forme (Théorème 2.6) afin d'analyser la criticité et la stabilité de la boule. Ils vérifient que la boule est une forme critique (la première dérivée s'annule) et étudient la coercitivité de la seconde dérivée (Hessienne) dans les espaces de Sobolev fractionnaires ($H^s$).
• Expansion en harmoniques sphériques : Pour analyser la seconde variation des fonctionnels sur la boule, les auteurs développent les perturbations de la frontière $h$ en termes d'harmoniques sphériques. Cela leur permet de calculer explicitement les valeurs propres de la Hessienne, déterminant si la boule est un minim local, un maxim local ou un point selle en fonction du signe des coefficients $G_k$ ou $F^q_k$.
• Homogénéisation et arguments d'homogénéisation : Pour établir des bornes dans la classe des ensembles ouverts ($\mathcal{O}$), les auteurs construisent des séquences spécifiques de domaines.
  • Séquences minimisantes : Construites à l'aide de domaines s'amincissant ou de séquences où le rapport isopérimétrique tend vers zéro.
  • Séquences maximisantes : Construites via l'homogénéisation (introduction d'un réseau dense de petits trous) pour approcher le supremum du fonctionnel de Pólya, combinée au contrôle du rapport isopérimétrique.
• Inégalités géométriques : L'analyse repose largement sur les inégalités connues telles que Saint–Venant et Faber–Krahn, ainsi que sur des bornes spécifiques pour les ensembles convexes impliquant le diamètre, le rayon intérieur et la largeur minimale (par exemple, Propositions 2.3–2.5).
• Analyse de régularité : Pour le cas convexe dans le cadre planétaire ($m=2$), un argument par l'absurde est utilisé pour prouver que tout maximisateur doit posséder une frontière de classe $C^1$, excluant ainsi les coins.

3. Contributions clés et résultats

A. Optimisation dans la classe des ensembles ouverts ($\mathcal{O}$)

• Infimum : L'infimum de $G(\Omega)$ sur $\mathcal{O}$ est 0. Ceci est atteint par des séquences d'ensembles qui deviennent de plus en plus fins (rapport isopérimétrique s'annulant).
• Supremum : Le supremum n'est pas atteint. Il est donné par la valeur $m^{\frac{m}{m-1}} \omega_m^{-\frac{1}{m-1}}$ (où $\omega_m$ est le volume de la boule unité). Cette valeur est approchée par des séquences construites via l'homogénéisation d'une boule, où le fonctionnel de Pólya approche 1 et le rapport isopérimétrique est contrôlé.
• Généralisation ($G_q$) : Pour le fonctionnel généralisé $G_q$, si $q \le \frac{2}{m+2}$, la boule est le minim global. Si $q > \frac{2}{m+2}$, l'infimum est 0. Le supremum est $+\infty$ pour $q < 1$ et fini pour $q \ge 1$.

B. Optimisation dans la classe des ensembles convexes ($\mathcal{C}$)

• Existence de maximisateurs : Contrairement à la classe $\mathcal{O}$, le supremum de $G(\Omega)$ sur $\mathcal{C}$ est atteint. Les auteurs prouvent l'existence d'un maximisateur en montrant que les séquences maximisantes ne peuvent pas « s'effondrer » (c'est-à-dire que le rapport entre la largeur minimale et le diamètre ne peut pas tendre vers zéro) et convergent donc vers un limite convexe.
• Régularité : Dans le cas planétaire ($m=2$), tout maximisateur de $G$ dans $\mathcal{C}$ est de classe $C^1$. La preuve démontre qu'un point de coin permettrait une perturbation augmentant la valeur du fonctionnel, contredisant la maximalité.
• La boule comme candidat : Il reste un problème ouvert de savoir si la boule est le maxim global dans $\mathcal{C}$. Des simulations numériques soutiennent cette conjecture, mais elle n'est pas prouvée.
• Généralisation ($G_q$) : Le comportement de $G_q$ dans $\mathcal{C}$ dépend de $q$. Pour $q > 2/3$, l'infimum est 0 et un maximisateur existe. Pour $q < 2/3$, le supremum est $+\infty$.

C. Optimalité locale et stabilité (Domaines presque sphériques)

L'article fournit une analyse locale détaillée de la stabilité de la boule pour $G$ et la famille $F_q$ (et $G_q$) au sein de la classe des ensembles presque sphériques $\mathcal{S}_{\delta, \gamma}$.

• Maximalité locale de la boule pour $G$ : La boule est un maxim strict local pour le fonctionnel $G$. Plus précisément, il existe une constante $C > 0$ telle que pour toute perturbation presque sphérique $B_h$ :
  $$G(B_1) - G(B_h) > C \|h\|_{H^1(\partial B_1)}^2$$
• Comportement local de $F_q$ et $G_q$ : La stabilité de la boule dépend de manière critique du paramètre $q$ :
  • $q < \frac{2}{m+2}$ : La boule est un minim strict.
  • $\frac{2}{m+2} < q < q^*$ : La boule est un point selle (ni un maxim local, ni un minim local). Ici, $q^*$ est un seuil critique impliquant la première racine de la fonction de Bessel.
  • $q > q^*$ : La boule devient un maxim strict local.
• Signification de $q^*$ : L'article identifie un intervalle de valeurs de $q$ (spécifiquement entre $\frac{2}{m+2}$ et $q^*$) où la boule se comporte comme un point selle. Cela contraste avec le comportement global où la boule est le minim global pour $q \le \frac{2}{m+2}$.

4. Signification et affirmations

L'article affirme résoudre l'optimisation du produit de la rigidité torsionnelle et de la première valeur propre sous une contrainte de périmètre, un problème qui n'avait pas été pleinement caractérisé dans la littérature.

• Résolution des valeurs extrémales : Les auteurs établissent que, bien que l'infimum du fonctionnel soit 0 dans la classe générale des ensembles ouverts, le supremum n'est pas atteint. Cependant, restreindre le problème aux ensembles convexes garantit l'existence d'un maximisateur.
• Stabilité locale : Une contribution significative est la preuve rigoureuse que la boule est un maxim local pour le fonctionnel du produit sous contrainte de périmètre $G$. Cela fournit un soutien théorique fort à la conjecture selon laquelle la boule est le maxim global dans la classe convexe.
• Généralisation : Le travail étend l'analyse classique du fonctionnel de Pólya à une famille plus large de fonctionnels $F_q$ et $G_q$, cartographiant la transition de la minimalité à la maximalité (et le comportement de point selle) à mesure que l'exposant $q$ varie.
• Rigueur méthodologique : L'article fournit un cadre complet pour analyser les dérivées de forme de fonctionnels mixtes (spectraux-géométriques), traitant spécifiquement l'interaction entre volume, périmètre et quantités spectrales via des expansions en harmoniques sphériques.

Les auteurs restent modestes quant à l'optimalité globale de la boule dans la classe convexe, précisant explicitement que le fait de savoir si le maximum est atteint par une boule demeure un problème ouvert, malgré les preuves numériques et la stabilité locale prouvée.