The Nonlocal-to-Local Limit for the Inviscid Leray-α Equations

Résumé Technique : La limite non locale-locale pour les équations de Leray-$\alpha$ non visqueuses

Énoncé du Problème
Cet article étudie les équations de Leray-$\alpha$ non visqueuses, une régularisation non locale des équations d'Euler incompressibles. Le système est défini sur un domaine $\Omega \subseteq \mathbb{R}^d$ ($d=2,3$) avec un paramètre d'échelle de longueur $\alpha > 0$. Les équations relient la vitesse filtrée $u_\alpha$ à la vitesse physique $v_\alpha$ via la relation de l'opérateur de Helmholtz $v_\alpha = u_\alpha - \alpha^2 \Delta u_\alpha$ (ou plus généralement $u_\alpha = K_\alpha * v_\alpha$), tandis que l'équation de quantité de mouvement est $\partial_t v_\alpha + (u_\alpha \cdot \nabla)v_\alpha + \nabla p_\alpha = 0$.

L'objectif principal est d'établir la convergence des solutions des équations de Leray-$\alpha$ vers les solutions des équations d'Euler lorsque le paramètre de régularisation $\alpha \to 0$. Les auteurs traitent deux régimes distincts :

1. Solutions Fortes : Convergence dans des espaces de Sobolev de haute régularité ($H^s$ avec $s > d/2 + 1$) sur l'espace entier $\mathbb{R}^d$.
2. Solutions Faibles : Convergence dans $L^2$ sur des domaines bornés, en supposant des données initiales dans $L^2$ et une propriété de mise à l'échelle locale spécifique liée à la théorie de la turbulence, sans supposer une régularité supérieure.

Méthodologie

Partie 1 : Solutions Fortes et Noyaux Généraux
Les auteurs adaptent les techniques des travaux de Masmoudi sur la limite non visqueuse de Navier-Stokes et des travaux de Linshiz et Titi sur le modèle Euler-$\alpha$. Une distinction méthodologique clé est que la preuve pour le modèle Leray-$\alpha$ est menée sans utiliser la structure de la vorticité du système, contrairement aux preuves de l'Euler-$\alpha$ qui reposent fortement sur l'équation de la vorticité.

La stratégie de preuve implique une décomposition en trois parties pour estimer la différence entre la solution de Leray-$\alpha$ $v_\alpha$ et la solution d'Euler $v$ :

1. Régularisation des Données Initiales : Les données initiales $v_0$ et $v_\alpha^0$ sont lissées par une coupure dans l'espace de Fourier (paramètre $\delta$) pour créer $v_0^\delta$ et $v_\alpha^{0,\delta}$.
2. Inégalité Triangulaire : L'erreur $\|v_\alpha - v\|$ est divisée en trois termes :
   • $\|v_\alpha - v_\alpha^\delta\|$ : La différence entre la solution de Leray-$\alpha$ avec les données originales et la solution de Leray-$\alpha$ avec les données lissées.
   • $\|v_\alpha^\delta - v^\delta\|$ : La différence entre la solution de Leray-$\alpha$ lissée et la solution d'Euler lissée.
   • $\|v^\delta - v\|$ : La différence entre la solution d'Euler lissée et l'Euler originale.
3. Généralisation du Noyau : Les auteurs maintiennent un noyau général $K_\alpha$ tout au long de la dérivation, spécifiant uniquement les propriétés requises pour la convergence (bornitude dans $H^l$ et convergence vers l'identité). Le noyau de Helmholtz spécifique n'est appliqué qu'à l'étape finale pour dériver des taux de convergence explicites.

Partie 2 : Solutions Faibles et Mise à l'Échelle Locale
Pour le régime des solutions faibles, les auteurs supposent des données initiales dans $L^2$ et imposent une propriété de mise à l'échelle locale (Équation 12) loin de la frontière. Cette condition borne la fonction de structure de second ordre :
$$\sup_{\alpha>0} \int_0^T \int_K |v_\alpha(x+y, t) - v_\alpha(x, t)|^2 dx dt \leq E_K |y|^{2\gamma}$$
pour $|y| \geq \eta(\alpha)$. Cette hypothèse est motivée par la théorie de la turbulence de Kolmogorov (1941) et la zone inertielle, mais elle n'implique pas crucialement une régularité classique.

La preuve de convergence suit l'approche de [19] et [20] pour la limite de viscosité nulle. Elle utilise une technique de mollification avec une fonction de test $j(z)$ pour décomposer le terme non linéaire $(u_\alpha \otimes v_\alpha)$. La preuve démontre que la différence entre les termes non linéaires de Leray-$\alpha$ et d'Euler s'annule en divisant l'erreur en trois composantes (A, B, C) impliquant des champs mollifiés et en utilisant la convergence faible de $v_\alpha$ vers $v_\infty$ et la convergence forte des champs mollifiés.

Contributions Clés et Résultats

1. Convergence des Solutions Fortes (Théorème 1) :

   • Les auteurs prouvent que pour des données initiales dans $H^s(\mathbb{R}^d)$ ($s > d/2 + 1$), les solutions fortes des équations de Leray-$\alpha$ convergent vers la solution forte des équations d'Euler dans $L^\infty(0, T; H^s)$ quand $\alpha \to 0$.
   • Taux Explicites : Ils dérivent des taux de convergence pour les normes inférieures $H^{s'}$ ($0 \leq s' \leq s-1$). Le taux dépend de l'erreur des données initiales et d'un terme proportionnel à $\alpha^\iota t$, où $\iota$ dépend de l'écart entre $s$ et $s'$.
   • Noyaux Généraux (Corollaire 1) : Les résultats sont étendus à une large classe de noyaux régularisateurs $K_\alpha$, à condition qu'ils satisfassent des propriétés de bornitude et d'approximation spécifiques.

2. Convergence des Solutions Faibles (Théorème 2) :

   • Sur un domaine borné, si une séquence de solutions faibles satisfait la propriété de mise à l'échelle locale (12) et converge faiblement dans $L^2$, la limite est une solution faible des équations d'Euler.
   • La solution limite $v_\infty$ hérite de la propriété de mise à l'échelle.
   • Ce résultat accommode les solutions faibles "sauvages" qui peuvent présenter une dissipation d'énergie anormale (cohérent avec la loi zéro de Kolmogorov), les distinguant des solutions fortes qui conservent l'énergie.

3. Distinction Méthodologique :

   • Le papier note explicitement que la preuve pour Leray-$\alpha$ ne repose pas sur la formulation de la vorticité, ce qui constitue un départ significatif par rapport à la littérature sur les modèles Euler-$\alpha$. Cela permet l'investigation de la convergence pour une classe plus générale de noyaux.

Signification et Revendications

Les auteurs positionnent ce travail comme répondant à des questions fondamentales concernant le modèle non visqueux de Leray-$\alpha$, qui a reçu comparativement moins d'attention dans la littérature que le modèle Euler-$\alpha$ ou les modèles Leray-$\alpha$ visqueux.

• Limite Non Locale-Locale : Le papier établit le lien mathématique rigoureux entre la régularisation non locale de Leray-$\alpha$ et les équations d'Euler locales, confirmant la validité du modèle en tant que schéma de régularisation.
• Comparaison avec d'autres Limites : Les auteurs notent que les taux de convergence concernant l'ordre de $\alpha$ sont comparables à ceux trouvés dans la limite non visqueuse de Navier-Stokes (Masmoudi [40]) et la limite Euler-$\alpha$ (Linshiz et Titi [34]).
• Connexion avec la Turbulence : En utilisant la propriété de mise à l'échelle locale dans l'analyse des solutions faibles, le papier connecte la convergence mathématique aux théories physiques de la turbulence (fonctions de structure de Kolmogorov), permettant la convergence de solutions qui peuvent ne pas être lisses.
• Conditions aux Limites : Le travail clarifie le traitement des conditions aux limites, notant que l'hypothèse de mise à l'échelle est appliquée loin de la frontière pour éviter les complications liées aux couches limites, une difficulté connue dans les limites non visqueuses.

Le papier conclut que les équations de Leray-$\alpha$ non visqueuses fournissent une régularisation non locale robuste des équations d'Euler, avec des propriétés de convergence qui tiennent pour les régimes lisses et turbulents (faibles) sous des hypothèses appropriées.