On the nilpotent residue non-abelian Hodge correspondence for higher-dimensional quasiprojective varieties

Résumé technique : Sur la correspondance de Hodge non abélienne à résidus nilpotents pour les variétés quasi-projectives de dimension supérieure

Énoncé du problème
Le papier traite de la nature topologique de la correspondance de Hodge non abélienne pour les variétés quasi-projectives de dimension supérieure. Plus précisément, il considère une variété complexe log-lisse projective $(\bar{X}, D)$, où $\bar{X}$ est une variété projective lisse et $D$ est un diviseur normal simple transversal. Les auteurs se concentrent sur deux espaces de modules :

1. $M^{\text{nilp}}_{\text{Dol}}(\bar{X}, D, r)$ : l'espace de modules des fibrés de Higgs logarithmiques de rang $r$, polystables, à résidus nilpotents et classes de Chern nulles ($c_i(E)=0$).
2. $M^{\text{nilp}}_{\text{DR}}(\bar{X}, D, r)$ : l'espace de modules des connexions logarithmiques de rang $r$, polystables, à résidus nilpotents.
   Dans les travaux de [BBT24], une bijection continue $S^{\text{nilp}}_{(\bar{X}, D)}: M^{\text{nilp}}_{\text{Dol}}(\bar{X}, D, r)(\mathbb{C}) \to M^{\text{nilp}}_{\text{DR}}(\bar{X}, D, r)(\mathbb{C})$ a été établie. Bien que cette application ait été prouvée être un homéomorphisme dans la topologie euclidienne lorsque $\bar{X}$ est une courbe, le cas de dimension supérieure restait ouvert concernant la continuité de l'inverse. Le problème central est de déterminer si cette bijection continue est, en fait, un homéomorphisme pour les variétés de dimension supérieure.

Méthodologie
Le papier emploie une stratégie de réduction utilisant des « courbes de Lefschetz » pour transférer les propriétés topologiques du cas des courbes vers le cas de dimension supérieure. La méthodologie procède à travers les étapes suivantes :

1. Courbes de Lefschetz : Les auteurs utilisent le concept d'une courbe de Lefschetz $\iota: \bar{C} \hookrightarrow \bar{X}$, définie comme une courbe de section complète lisse et transverse à $D$, telle que l'application induite sur les groupes fondamentaux $\pi_1(\bar{C} \setminus D) \twoheadrightarrow \pi_1(\bar{X} \setminus D)$ est surjective.
2. Applications de restriction : Une telle courbe induit des applications de restriction $i^*_{\text{Dol}}$ et $i^*_{\text{DR}}$ entre les espaces de modules de $\bar{X}$ et de $\bar{C}$. Puisque la correspondance est déjà connue pour être un homéomorphisme pour les courbes (par [BBT24]), l'application $S^{\text{nilp}}_{(\bar{C}, D \cap \bar{C})}$ est un homéomorphisme.
3. Diagrammes commutatifs : Les auteurs construisent un diagramme commutatif impliquant les applications de Hitchin ($h$) pour la variété et la courbe, ainsi que les applications de restriction entre les bases de Hitchin.
4. Propreté et injectivité : Pour prouver le résultat principal, les auteurs établissent deux propriétés critiques :
   • Propreté de $i^*_{\text{Dol}}$ : Ils prouvent l'existence d'une courbe de Lefschetz telle que l'application de restriction sur l'espace de modules de Higgs soit propre. Ceci est réalisé en utilisant le critère de valuativité pour la propreté, en s'appuyant sur la propreté de l'application de Hitchin $h_{(\bar{X}, D)}$ (citée de [Lan14]) et sur l'injectivité de l'application de restriction sur la base de Hitchin.
   • Injectivité de la restriction de la base de Hitchin : Ils démontrent qu'il existe une courbe de Lefschetz $\bar{C}$ telle que l'application de restriction $\text{res}$ de l'espace des sections globales des puissances symétriques des différentielles logarithmiques sur $\bar{X}$ vers celles sur $\bar{C}$ soit injective. Ceci est prouvé par la construction d'un ensemble fini de points et de directions tangentes où les sections des puissances symétriques ne s'annulent pas, puis en invoquant [ACV19] pour trouver une courbe passant par ces points avec des tangentes prescrites.

Contributions clés et résultats

• Théorème 1 : Le papier prouve l'existence d'une courbe de Lefschetz $\bar{C} \subset \bar{X}$ telle que l'application de restriction $i^*_{\text{Dol}}: M^{\text{nilp}}_{\text{Dol}}(\bar{X}, D, r) \to M^{\text{nilp}}_{\text{Dol}}(\bar{C}, D \cap \bar{C}, r)$ est propre.
• Corollaire 2 : Comme conséquence directe du Théorème 1 et du cas connu des courbes, l'application de comparaison $S^{\text{nilp}}_{(\bar{X}, D)}$ est un homéomorphisme dans la topologie euclidienne pour les variétés log-lisses projectives de dimension supérieure.
• Lemme technique (Proposition 3) : Le papier clarifie que l'application de Hitchin pour les fibrés de Higgs logarithmiques à résidus nilpotents et classes de Chern nulles est propre, notant que la condition de classes de Chern nulles définit un sous-schéma fermé au sein de l'espace de modules des faisceaux sans torsion.
• Lemme technique (Proposition 4) : Le papier établit l'existence d'une courbe de Lefschetz qui induit une restriction injective sur la base de Hitchin, une étape cruciale pour assurer la propreté de la restriction de l'espace de modules.

Signification et affirmations
Le papier prétend résoudre la question topologique de la correspondance de Hodge non abélienne dans le cadre de dimension supérieure pour le cas spécifique des résidus nilpotents. En prouvant que la bijection continue établie dans [BBT24] est un homéomorphisme, les auteurs confirment que les espaces de modules des fibrés de Higgs logarithmiques et des connexions logarithmiques sont topologiquement équivalents dans la topologie euclidienne, étendant ainsi les résultats connus pour les courbes à des dimensions arbitraires.

Le travail repose fortement sur l'interaction entre la géométrie des courbes de Lefschetz et les propriétés algébriques de la fibration de Hitchin. La signification réside dans l'extension rigoureuse du résultat d'homéomorphisme, en utilisant la propreté de l'application de Hitchin et la construction géométrique spécifique de courbes préservant les données cohomologiques et de groupe fondamental nécessaires. Le papier ne propose pas de nouvelles applications ou directions futures, mais se concentre strictement sur l'établissement de l'équivalence topologique de ces espaces de modules.