On the Identification of Elliptic Curves That Admit Infinitely Many Twists Satisfying the Birch-Swinnerton-Dyer Conjecture

Résumé Technique : Identification de courbes elliptiques admettant une infinité de torsions satisfaisant la conjecture BSD

Énoncé du problème
La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer (BSD) demeure l'un des problèmes ouverts centraux de la théorie des nombres. Bien que des progrès probabilistes significatifs aient été accomplis concernant le rang moyen des courbes elliptiques (établissant qu'au moins 66 % satisfont la partie « rang » de la conjecture), ces résultats n'identifient pas de courbes spécifiques où la conjecture complète est vérifiée. Historiquement, les familles explicites infinies de courbes satisfaisant la pleine conjecture BSD étaient principalement connues pour les courbes possédant une multiplication complexe (CM). Pour les courbes non-CM, le paysage a été élargi par les travaux de Burungale–Skinner–Tian–Wan, qui ont prouvé l'existence de familles infinies de torsions quadratiques de courbes elliptiques non-CM satisfaisant la pleine conjecture BSD. Cependant, leurs travaux ne fournissaient qu'une liste explicite limitée (conducteur jusqu'à 150) et ne détaillaient pas la procédure algorithmique explicite ni l'implémentation requise pour vérifier les conditions locales nécessaires à l'identification de telles courbes.

Méthodologie
Les auteurs comblent le fossé entre l'existence théorique et le calcul explicite en traduisant les conditions théoriques établies par Burungale–Skinner–Tian–Wan en algorithmes exécutables. La méthodologie procède en deux étapes principales :

1. Filtrage algorithmique (Algorithme 1) : Les auteurs encodent les hypothèses requises pour que la partie $p$ de la conjecture BSD soit vérifiée pour les torsions quadratiques de rang 0.

   • Primes impairs ($p > 2$) : Ils utilisent les résultats de Skinner–Urban, Zhang, et Burungale–Skinner–Tian–Wan pour vérifier la partie $p$. Cela implique de vérifier les conditions sur la représentation de Galois $\rho_{E,p}$, l'existence de primes ramifiées spécifiques, et le comportement de la courbe aux primes supersingulières.
   • Le nombre premier 2 : Ils synthétisent les résultats de [5] et [22] pour établir les conditions pour la partie 2 de la conjecture BSD. Cela nécessite de vérifier que le rang est 0, de vérifier la constante de Manin, et d'analyser la structure de la torsion 2 $E(\mathbb{Q})[2]$ ainsi que le signe du discriminant. Des conditions spécifiques sont vérifiées pour les cas où $E(\mathbb{Q})[2] \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ par rapport aux cas où $E(\mathbb{Q})[2] = 0$.
   • Implémentation : Ces vérifications sont implémentées dans SageMath et appliquées à l'ensemble de la base de données LMFDB pour les courbes elliptiques de conducteur $N < 500\,000$.

2. Vérification des torsions (Algorithme 2) : Pour les courbes ayant passé le filtre initial, les auteurs implémentent un second algorithme pour identifier des torsions quadratiques spécifiques $E_d$ (dans l'intervalle $[-1000, 1000]$) qui satisfont la pleine conjecture BSD. Cela implique de vérifier les conditions locales sur le paramètre de torsion $d$, telles que la sans-carré (square-freeness), les conditions de congruence modulo 4 ou 8, et le comportement de décomposition des nombres premiers dans des corps de nombres spécifiques.

Contributions clés

• Réalisation algorithmique explicite : La principale contribution est la traduction des preuves d'existence non constructives de Burungale–Skinner–Tian–Wan en algorithmes explicites et exécutables (Algorithme 1 et Algorithme 2).
• Identification étendue de bases de données : En appliquant ces algorithmes au LMFDB, les auteurs identifient 36 687 courbes elliptiques avec un conducteur $N < 500\,000$ qui admettent inconditionnellement une infinité de torsions quadratiques satisfaisant la forte conjecture BSD. Cela représente environ 0,1 % de toutes les courbes dans cette plage.
• Raffinement des listes existantes : Les auteurs clarifient et affinent la liste des courbes jusqu'au conducteur 150 présentée dans [4, Exemple 1]. Ils démontrent que quatre courbes précédemment listées (62a1, 66b1, 105a1, 141c1) ne satisfont pas actuellement les critères inconditionnels en raison de l'absence de théorèmes applicables à leurs structures de torsion 2 spécifiques et de l'inapplicabilité des résultats de [5] (en raison de l'ordre d'annulation de la valeur L).
• Analyse statistique du groupe de Shafarevich–Tate : En utilisant le nouvel ensemble de données où $|\text{Ш}(E_d)|$ est connu inconditionnellement, les auteurs testent la conjecture de Radziwiłł et Soundararajan concernant la distribution gaussienne de $\log(|\text{Ш}(E_d)|/\sqrt{|d|})$.

Résultats

• Génération de jeux de données : Les auteurs ont produit un jeu de données de courbes elliptiques et de leurs torsions spécifiques où la pleine conjecture BSD est vérifiée inconditionnellement. Ce jeu de données est unique car l'ordre du groupe de Shafarevich–Tate est dérivé sans supposer la conjecture BSD (car la conjecture est prouvée pour ces familles spécifiques).
• Vérification de Radziwiłł–Soundararajan (Cas générique) : Pour les torsions génériques d'une courbe représentative (46a1) avec un nombre de racine +1, la distribution des valeurs normalisées converge vers une distribution gaussienne standard $N(0,1)$, ce qui est cohérent avec la conjecture, bien qu'une asymétrie d'échantillon fini soit observée.
• Observation d'un biais systématique (Sous-famille satisfaisant BSD) : En restreignant l'analyse à la sous-famille spécifique de torsions qui satisfont la pleine conjecture BSD (notée $D_{BSD}$), la distribution dévie de manière significative de la prédiction générique. Les auteurs observent un biais positif systématique et un déplacement vers une forme bimodale.
  • Cause du biais : Cette déviation est attribuée aux contraintes arithmétiques rigides définissant $D_{BSD}$ (par exemple, $d$ doit être positif, $d \equiv 1 \pmod 8$, et les facteurs premiers doivent se scinder dans des corps de nombres spécifiques). Ces contraintes forcent les torsions à se situer dans des corps quadratiques réels avec des comportements de scission spécifiques, modifiant la densité des nombres premiers et le modèle probabiliste sous-jacent par rapport au cas générique.

Signification et affirmations
L'article affirme fournir la première identification à grande échelle et inconditionnelle de courbes elliptiques non-CM admettant des familles infinies de torsions satisfaisant la conjecture BSD. En passant de l'existence probabiliste à l'énumération explicite, les auteurs créent un jeu de données unique pour l'étude du groupe de Shafarevich–Tate.

La signification des résultats statistiques réside dans l'observation que, bien que la conjecture de Radziwiłł–Soundararajan soit vérifiée pour les familles génériques, elle nécessite une modification (spécifiquement concernant la moyenne et la variance) lorsqu'elle est appliquée à des familles définies par des conditions arithmétiques locales strictes. Les auteurs notent que cela n'invalide pas la conjecture mais souligne sa sensibilité aux restrictions de sous-familles. Ils suggèrent qu'avec davantage de données, la distribution pour la famille restreinte pourrait encore approcher une forme gaussienne, bien qu'avec des paramètres différents, ce qui justifie des investigations plus poussées.

Le travail est soutenu par un dépôt de code public construit sur l'infrastructure du LMFDB, permettant la reproduction de l'identification de ces courbes et la vérification des affirmations statistiques.