Barotropic-Baroclinic Splitting for Multilayer Shallow Water Models with Exchanges

Résumé Technique : Séparation Barotrope-Barocline pour les Modèles d'Eaux Peu Profondes Multicouches avec Échanges

Énoncé du Problème
Les modèles de circulation océanique globale (OGCM) sont confrontés à une contrainte de calcul sévère : le pas de temps est limité par la vitesse d'onde la plus rapide, spécifiquement les ondes de gravité de surface (environ 200 m/s), alors que les phénomènes d'intérêt primaire (stratification et courants) évoluent sur des échelles de temps beaucoup plus lentes (environ 3 m/s). Bien que des approches précédentes, telles que l'approximation du couvercle rigide ou les méthodes de hauteur de surface implicite, aient été utilisées, elles présentent des limites. La décomposition barotrope-barocline offre une solution en séparant les ondes de gravité de surface rapides (barotropes) des ajustements verticaux plus lents (baroclines). Cependant, les méthodes de séparation existantes peinent souvent à maintenir la cohérence dans les cadres multicouches avec échanges de masse, à préserver les propriétés énergétiques et à assurer la stabilité sans perdre en précision, particulièrement dans les coordonnées suivant le terrain.

Méthodologie
Les auteurs proposent une analyse numérique d'une séparation barotrope-barocline au sein d'un cadre multicouche non linéaire avec des échanges de masse, formulée comme une séparation d'opérateurs exacte. Le modèle est basé sur les équations d'Euler non visqueuses avec un traceur passif en coordonnées suivant le terrain ($\sigma$), en supposant une densité constante.

La méthodologie centrale consiste à décomposer les équations d'Euler moyennées par couche en deux opérateurs distincts :

1. Étape Barotrope : Cette étape gère l'évolution de la hauteur de la surface libre ($h$) et de la vitesse moyenne de la colonne d'eau ($\bar{u}$). Elle est formulée comme un modèle d'eaux peu profondes à une couche bien équilibré qui inclut les termes de pression et les termes sources de topographie, mais exclut le forçage barocline. Crucialement, cette étape traite le transport des vitesses individuelles des couches ($u_\alpha$) et des traceurs ($T_\alpha$) à la vitesse moyenne $\bar{u}$.
2. Étape Barocline : Cette étape gère les échanges verticaux entre les couches et l'ajustement des vitesses par rapport à la moyenne. Elle résout la déviation par rapport à la vitesse moyenne ($u_\alpha - \bar{u}$) et impose la contrainte que les hauteurs de couche restent proportionnelles à la hauteur totale ($h_\alpha = l_\alpha h$) via des multiplicateurs de Lagrange (termes d'échange $G_{\alpha \pm 1/2}$). Ce système est entièrement 3D mais ne possède ni termes de pression ni de bathymétrie, permettant ainsi un pas de temps plus grand.

Le schéma numérique emploie une séparation de Lie avec une stratégie de sous-cycle :

• L'étape barocline est résolue sur un grand pas de temps $\Delta t$.
• L'étape barotrope est résolue sur le même intervalle en utilisant $K$ sous-étapes de petit pas $\delta t$, contraintes par la vitesse des ondes de gravité.
• Un mécanisme de correction garantit que la vitesse moyenne prédite par l'étape barotrope coïncide avec la moyenne des vitesses individuelles mises à jour dans l'étape barocline.

Contributions Clés

• Formulation de Séparation d'Opérateurs Exacte : L'article reformule la séparation comme une somme d'opérateurs exacte ($M_L = BT + BC$), clarifiant la structure mathématique du système multicouche avec échanges.
• Préservation des Propriétés Physiques : Les auteurs prouvent que la séparation préserve la conservation (ou la dissipation) de l'énergie totale et satisfait une inégalité d'entropie discrète. Plus précisément, l'étape barotrope satisfait une égalité d'énergie, tandis que l'étape barocline satisfait une inégalité d'énergie en raison de la nature dissipative des termes d'échange.
• Principes de Maximum Discrets : Il est démontré que le schéma satisfait des principes de maximum discrets pour la vitesse et les concentrations de traceurs, garantissant que les valeurs restent dans des limites physiques.
• Équilibre Bien-Équilibré (Well-Balancing) : En utilisant un solveur bien équilibré (reconstruction hydrostatique) pour l'étape barotrope, le schéma global préserve l'équilibre « lac au repos » et, lorsqu'il est étendu avec des stratégies récentes de bien-équilibrage linéaire, maintient l'équilibre géostrophique sur des mailles grossières.
• Analyse de Hyperbolicité : L'article étudie l'hyperbolicité des systèmes séparés, prouvant que le système barotrope est hyperbolique et analysant les valeurs propres du système barocline, notant qu'il reste strictement hyperbolique sous des conditions spécifiques concernant les déviations de vitesse.

Résultats
Les expériences numériques démontrent l'efficacité du schéma proposé :

• Efficacité de Calcul : Dans les simulations à faible nombre de Froude (où le rapport entre la vitesse du flux et la vitesse des ondes de gravité est faible), la méthode de séparation réduit drastiquement le coût de calcul par rapport aux schémas non séparés. Le gain est proportionnel au nombre de Froude.
• Précision : Malgré la séparation et le sous-cyclage, la méthode maintient une précision comparable aux schémes non séparés. Les études de convergence par rapport aux solutions analytiques des équations d'Euler hydrostatiques montrent une convergence de premier ordre.
• Caractéristiques de Diffusion : Dans certains cas de test (ex: cavité entraînée par le vent), il a été constaté que la méthode de séparation est moins diffusive que le schéma non séparé, bien que dans d'autres cas (solutions stationnaires), elle présente une diffusion légèrement plus élevée.
• Équilibre Géostrophique : L'application de stratégies de bien-équilibrage linéaire dans l'étape barotrope améliore significativement la résolution des courants de bord ouest lors d'intégrations à long terme, capturant des courants plus étroits et plus rapides par rapport aux schémas standards sur des mailles grossières.

Signification et Revendications
L'article affirme que ce travail fournit une analyse numérique rigoureuse d'une séparation barotrope-barocline qui est à la fois efficace sur le plan computationnel et physiquement cohérente. La principale importance réside dans la capacité de simuler la circulation océanique à long terme avec de grands pas de temps (contraints par les ondes baroclines lentes plutôt que par les ondes de gravité rapides) sans sacrifier la conservation de l'énergie ou la préservation des équilibres critiques (lac au repos et géostrophique). Les auteurs soulignent que la stratégie de bien-équilibrage utilisée dans l'étape barotrope est héritée par le schéma global, permettant des simulations précises de flux géostrophiques sur des grilles grossières. La méthode est présentée comme un cadre robuste pour des applications tant globales que régionales où les ondes de surface libres ne sont pas l'objet principal.