A note on varieties of non-negative Kodaira dimension with polarized self maps

Résumé Technique : Variétés de dimension de Kodaira non négative avec applications auto-polarisées

Énoncé du Problème
L'article étudie la structure géométrique des variétés projectives lisses $X$ définies sur un corps $k$ qui possèdent une dimension de Kodaira non négative et admettent une application auto-polarisée. Plus précisément, l'étude se concentre sur les triplets $(X, \phi, L)$ où $L$ est un fibré en droites ample et $\phi: X \to X$ est une application auto-morphismique satisfaisant $\phi^*L \cong L^{\otimes d}$ pour un entier $d > 1$. Si le cas de la caractéristique 0 a été partiellement traité (notamment par Nakayama et Zhang dans [2]), le comportement de telles variétés en caractéristique positive, et sur des corps non algébriquement clos, demeure un sujet nécessitant davantage de clarifications et de généralisations.

Méthodologie
L'auteur emploie une combinaison de géométrie algébrique, de la théorie du groupe fondamental étale et de la théorie de la déformation pour établir des résultats structurels. La méthodologie procède à travers les étapes logiques suivantes :

1. Réduction au groupe fondamental abélien : La preuve commence par utiliser l'hypothèse que le groupe fondamental étale $\pi_1^{\text{et}}(X)$ contient un sous-groupe abélien normal de rang fini. Le Lemme 2.1 démontre que sous cette condition, on peut construire un revêtement étale fini $Z \to X$ tel que le groupe fondamental de $Z$ soit abélien, et que l'application polarisée se relève sur $Z$.
2. Analyse de l'application d'Albanese : Avec l'hypothèse que $\pi_1^{\text{et}}(X)$ est abélien, l'article analyse le morphisme d'Albanese $\text{alb}_X: X \to \text{Alb}_X$. Le cœur de l'argument consiste à prouver que cette application est finie.
   • Cas $k = \mathbb{F}_p$ : La preuve exploite l'existence de points périodiques pour l'application $\phi$ (garantie par la finitude du corps). En levant le point périodique vers la variété d'Albanese, l'auteur construit un diagramme commutatif impliquant l'application induite sur la variété d'Albanese. En utilisant des résultats sur l'injectivité du produit de Rückzug sur les formes différentielles globales (Igusa) et les propriétés des différentielles relatives, il est montré que l'application induite sur la variété d'Albanese est un isogénie. Un argument de contradiction impliquant le noyau de l'application sur les groupes fondamentaux est utilisé pour prouver que les fibres de l'application d'Albanese sont finies.
   • Caractéristique générale $p > 0$ : Le résultat pour $k = \mathbb{F}_p$ est étendu à tout corps algébriquement clos de caractéristique $p$ via un argument de spécialisation. La variété et l'application sont définies sur un sous-corps engendré par un nombre fini de générateurs, permettant une réduction à un anneau de valuation discrète (DVR) avec un corps résiduel de degré de transcendance inférieur. Une induction sur le degré de transcendance réduit le cas général au cas du corps fini.
3. Relèvement à la caractéristique zéro : Dans la Section 3, l'article traite de la condition sur le groupe fondamental. Le Lemme 3.1 prouve que si $X$ admet un relèvement en caractéristique 0, le groupe fondamental contient nécessairement un sous-groupe abélien normal de rang fini. Cela permet une preuve alternative du théorème principal dans le cas du relèvement, qui repose sur des résultats élémentaires (spécifiquement, la structure de la fibre générique) plutôt que sur des théorèmes profonds tels que ceux de Hacon–Patakfalvi–Zhang.
4. Corps non algébriquement clos : La Section 4 étend les résultats à des corps $k$ qui ne sont pas nécessairement algébriquement clos. En utilisant la théorie des torsors et la scission de la suite exacte du groupe fondamental, l'auteur construit une forme $A'$ d'une variété abélienne définie sur $k$ qui est un morphisme fini et étale vers $X$, à condition que $X(k) \neq \emptyset$.

Contributions Clés et Résultats

• Théorème 1.1 (Résultat Principal) : Pour une variété projective lisse de dimension de Kodaira non négative sur un corps algébriquement clos $k$ de caractéristique $p > 0$, si $X$ admet une application auto-polarisée séparable et que son groupe fondamental étale contient un sous-groupe abélien normal de rang fini, alors il existe une variété abélienne $A$ avec un morphisme étale fini vers $X$.
• Généralisation aux corps non clos (Théorèmes 4.3 & 4.4) : L'article établit que sur n'importe quel corps $k$ (caractéristique 0 ou $p > 0$), si $X$ possède un point $k$-rationnel et satisfait les conditions du groupe fondamental (virtuellement abélien), alors $X$ est un quotient fini libre d'une variété abélienne définie sur $k$.
• Implication de Relèvement (Lemme 3.1 & 3.2) : L'article prouve que l'hypothèse de "relèvement en caractéristique 0" implique la structure nécessaire du groupe fondamental, fournissant ainsi une preuve du théorème structurel principal pour ces variétés qui évite le recours à des outils plus avancés utilisés dans la littérature de la caractéristique 0.
• Extension aux applications int-amplifiées : L'auteur note que les arguments peuvent être adaptés à des applications "int-amplifiées" (où $f^*L \otimes L^{-1}$ est ample), à condition que la trivialité de la classe de Chern première du fibré canonique puisse être établie dans ce contexte.

Signification et Revendications
L'article prétend fournir un analogue en caractéristique positive des résultats de Nakayama et Zhang ([2, Théorème 4.2]) concernant la structure des variétés avec endomorphismes polarisés. La signification réside dans :

1. Combler les écarts de caractéristique : Il traite explicitement le cas de la caractéristique positive, qui était précédemment suggéré comme ne tenant que sous des hypothèses supplémentaires.
2. Conditions du groupe fondamental : Il clarifie que l'existence d'un sous-groupe abélien normal de rang fini dans le groupe fondamental est une condition suffisante pour que la variété soit un quotient étale fini d'une variété abélienne.
3. Indépendance du corps : Il généralise ces résultats structurels à des corps non algébriquement clos, à condition qu'un point rationnel existe.
4. Preuves élémentaires : Dans le cas où la variété se relève en caractéristique 0, l'article propose une preuve utilisant des résultats de nature plus élémentaire (Lemme 3.2), contrastant avec la lourde machinerie souvent requise dans ce domaine.

L'auteur présente modestement ce travail comme une "note" qui prouve des théorèmes structurels spécifiques et fournit des analogues pour des résultats existants, plutôt que de résoudre les conjectures dynamiques plus larges (telles que les conjectures de Bogomolov ou de Mordell–Lang) mentionnées dans l'introduction comme contexte.