Dynamic brittle fracture using Lip-field approach in an explicit dynamics context

Résumé technique : Rupture fragile dynamique utilisant l'approche par champ de Lipschitz dans un contexte de dynamique explicite

Énoncé du problème
Cet article traite de la simulation numérique de la rupture fragile dynamique dans des matériaux soumis à des chargements à taux de déformation élevé, tels que des impacts ou des explosions. Alors que la mécanique de la rupture classique (par exemple, le modèle de Griffith) peine à modéliser l'initiation et la ramification des fissures, des approches modernes telles que les modèles de zone cohésive (CZM) et les modèles de dommage diffus ont été développées. Cependant, les modèles de dommage diffus locaux souffrent d'une sensibilité pathologique au maillage, nécessitant une régularisation pour introduire une échelle de longueur et garantir des résultats indépendants du maillage. Les techniques de régularisation existantes, telles que les méthodes de champ de phase (Phase-Field) et de Thick Level Set (TLS), impliquent souvent des fonctionnelles d'énergie non locales qui peuvent être coûteuses en termes de calcul. Le défi spécifique abordé ici est l'extension de l'approche par champ de Lipschitz — une méthode variationnelle qui introduit des échelles de longueur via des contraintes de Lipschitz sur le champ de dommage — de ses applications précédentes en quasi-statique et en dynamique unidimensionnelle vers la rupture dynamique bidimensionnelle dans un cadre d'intégration temporelle explicite.

Méthodologie
Les auteurs proposent une formulation variationnelle de la mécanique des dommages dynamiques basée sur la minimisation d'un potentiel incrémental. Le cœur de la méthodologie repose sur :

1. Formulation variationnelle : Le problème mécanique est défini par la minimisation d'un potentiel incrémental $F$ qui inclut l'énergie cinétique, l'énergie libre et le potentiel de dissipation. Les variables d'état sont le déplacement ($u$) et une variable de dommage scalaire ($d$). Le modèle constitutif utilise des matériaux standards généralisés avec des fonctions spécifiques de dégradation d'énergie ($g(d)$) et d'adoucissement ($h(d)$).
2. Régularisation par champ de Lipschitz : Contrairement aux modèles de champ de phase qui modifient la fonctionnelle d'énergie par un terme de gradient, l'approche par champ de Lipschitz maintient la fonctionnelle d'énergie locale (non régularisée). À la place, elle impose des contraintes de Lipschitz sur le champ de dommage, exigeant que le gradient de dommage soit borné par une valeur critique ($1/l$). Cela restreint le champ de dommage à un espace de Lipschitz spécifique $\mathcal{L}$, introduisant ainsi une échelle de longueur $l$ sans altérer la densité d'énergie locale.
3. Schéma décalé explicite : L'article emploie un schéma d'intégration temporelle explicite de Newmark (méthode des différences centrales). Une approche décalée (staggered) est utilisée où les champs de déplacement et de dommage sont résolus séquentiellement. Pour un pas de temps donné, le déplacement est mis à jour en premier, suivi de la mise à jour du dommage.
4. Solveur de dommage efficace : Une contribution algorithmique clé est l'utilisation de l'estimation des bornes (dérivée de travaux antérieurs) pour optimiser le calcul du dommage. Le processus implique de :
   • Résoudre un problème de minimisation purement local pour trouver un champ de dommage local ($d_{loc}$).
   • Projeter $d_{loc}$ dans des bornes supérieures et inférieures basées sur la contrainte de Lipschitz.
   • Identifier les régions où ces bornes diffèrent.
   • Résoudre le problème de minimisation non local (sous contrainte de Lipschitz) uniquement dans la petite partie du domaine où les bornes ne sont pas égales. Dans les régions où les bornes coïncident, la solution locale est acceptée. Cela réduit considérablement le coût de calcul par rapport à la résolution du problème non local sur l'ensemble du domaine.
5. Discrétisation : La discrétisation spatiale utilise des éléments triangulaires linéaires pour le champ de déplacement. Un « maillage de Lipschitz » distinct (construit à partir des centroïdes des éléments) est utilisé pour stocker et contraindre le champ de dommage, garantissant que le nombre de contraintes de Lipschitz est minimisé.

Contributions clés

• Extension à la dynamique 2D : L'article étend avec succès l'approche par champ de Lipschitz, validée précédemment en fragmentation dynamique 1D et en cas quasi-statiques, aux problèmes de rupture dynamique bidimensionnelle.
• Intégration de la dynamique explicite : Il expose une implémentation spécifique de l'approche par champ de Lipschitz utilisant un schéma d'intégration temporelle explicite, ce qui est efficace pour les problèmes d'impact à haute vitesse.
• Efficacité de calcul via les bornes : Les auteurs démontrent qu'en utilisant l'estimation des bornes, la minimisation non locale coûteuse peut être restreinte à de petits sous-domaines, rendant l'approche par champ de Lipschitz compétitive pour les simulations dynamiques.
• Distinction variationnelle : Le travail clarifie la distinction entre l'approche par champ de Lipschitz et l'approche par champ de phase : le champ de Lipschitz maintient une fonctionnelle d'énergie locale avec des contraintes non locales, tandis que le champ de phase utilise une fonctionnelle d'énergie non locale.

Résultats de simulation
Le modèle proposé a été validé par des exemples numériques en deux dimensions :

1. Traction avec entaille simple (SENT) : Le modèle a simulé avec succès la propagation et la ramification de la fissure dynamique. Les résultats montrent une convergence du maillage en termes de potentiel et d'énergie dissipée. Le phénomène de ramification de la fissure a été capturé sans critères ad hoc, et les vitesses de pointe de fissure sont restées généralement inférieures à la vitesse de l'onde de Rayleigh, sauf lors de pics transitoires durant la ramification. Les résultats sont comparables aux simulations de champ de phase et de TLS trouvées dans la littérature.
2. Influence de l'intensité de la charge : En faisant varier la traction appliquée, le modèle a démontré sa capacité à capturer des ramifications multiples de fissures, la ramification se produisant plus près de l'entaille sous des charges plus élevées.
3. Test de Kalthoff-Winkler : Le modèle a simulé l'initiation et la propagation de fissures sous un chargement de cisaillement dynamique.
   • À faible vitesse d'impact ($33$ m/s), il a prédit un angle de propagation de fissure de Mode-I d'environ $62,4^\circ$, cohérent avec les observations expérimentales d'environ $70^\circ$.
   • À haute vitesse d'impact ($100$ m/s), le modèle a capturé des ramifications successives et des fissures multiples.
   • Limite : Les auteurs notent que bien que les expériences montrent une transition vers une rupture ductile (rupture par cisaillement à environ $-10^\circ$) à des vitesses élevées, le modèle élastique-dommage actuel ne capture pas ce comportement ductile, car il est dépourvu de plasticité.

Signification et affirmations
L'article affirme que l'approche par champ de Lipschitz offre un cadre variationnel robuste pour la rupture dynamique qui préserve la pertinence mathématique du problème tout en introduisant les échelles de longueur nécessaires. Sa principale importance réside dans son efficacité de calcul obtenue grâce au solveur basé sur les bornes, qui évite de résoudre les équations non locales de manière globale. Les auteurs affirment que l'approche gère efficacement les phénomènes de fracture complexes tels que l'initiation, la ramification et la coalescence des fissures sans critères ad hoc.

L'article conclut modestement que si l'approche par champ de Lipschitz est efficace pour la rupture fragile et la fragmentation, elle est limitée au comportement élastique-dommage. Il reconnaît que la simulation de la rupture ductile à des taux de déformation élevés nécessiterait une extension aux modèles de dommage élastique-plastique, ce qui est hors du champ de l'étude actuelle. La méthode est présentée comme une alternative viable aux méthodes de champ de phase et TLS, particulièrement là où l'efficacité de calcul dans la dynamique explicite est critique.