Résumé Technique : Critère de régularité pondéré pour les solutions faibles appropriées des fluides non-newtoniens incompressibles

1. Problématique

L'article traite de la régularité des solutions pour les équations des fluides non-newtoniens de type shear-thinning (amincissement par cisaillement) dans $\mathbb{R}^3$. Le modèle mathématique repose sur le système suivant :
$$\begin{cases} u_t - \nabla \cdot S + (u \cdot \nabla)u + \nabla \pi = 0 \\ \text{div } u = 0 \end{cases}$$
où le tenseur des contraintes $S$ suit une loi de puissance : $S(Du) = (\mu_0 + \mu_1|Du|^{q-2})Du$ avec $q > 2$.

L'enjeu central est de déterminer les conditions suffisantes sur le champ de vitesse $u$ (notamment via des normes pondérées) pour garantir que la solution faible ne présente pas de singularités, assurant ainsi sa semi-régularité jusqu'à un temps $T$.

2. Méthodologie

L'auteur emploie une approche analytique rigoureuse combinant plusieurs outils de l'analyse des équations aux dérivées partielles (EDP) :

• Solutions faibles appropriées (Suitable Weak Solutions) : L'étude se place dans le cadre des solutions qui satisfont une inégalité d'énergie généralisée (définition 2.1), permettant d'utiliser les critères de régularité locale.
• Inégalités d'interpolation pondérées : L'utilisation cruciale de l'inégalité de Caffarelli-Kohn-Nirenberg (CKN) et des inégalités de Stein permet de contrôler les termes non linéaires et les termes de pression en introduisant des poids de type $|x - x_0|^{-\gamma}$.
• Estimations d'énergie pondérées : L'auteur teste l'équation avec une fonction de test régularisée $\phi_\epsilon(x, t) = \eta_\epsilon(x) |x - x_0|^{-1}u(x, t)$. Cette technique permet d'obtenir des estimations de type Gronwall sur des normes de gradient pondérées.
• Critère $\epsilon$-régularité : La preuve de la régularité repose sur le passage à la limite de l'intégrale locale du gradient. Si l'intégrale de la norme du gradient sur une boule de rayon $r$ décroît plus vite que $r^{5-2q}$ quand $r \to 0$, alors le point est régulier (Proposition 2.1).

3. Contributions clés

La contribution majeure de ce travail est l'établissement d'un nouveau critère de régularité de type Serrin, mais pondéré par la distance au point $x_0$.

Contrairement aux critères classiques qui exigent des normes globales ou locales standard, ce papier démontre que la régularité peut être contrôlée par des normes de gradient où le poids compense la singularité potentielle du champ de vitesse. L'auteur parvient à lier les exposants de la norme $L^{r,s}$ et de la norme de la contrainte $L^{3/2}$ via une relation de dimensionnalité précise (équation 1.1).

4. Résultats principaux (Théorème 1.1)

Le résultat principal stipule que si une solution faible $u$ satisfait les conditions de bornitude suivantes pour tout $x_0 \in \mathbb{R}^3$ :

1. Une condition initiale sur $u_0$ dans un espace de Sobolev pondéré.
2. Une borne sur la norme spatio-temporelle pondérée du gradient : $\sup_{x_0} \| |x - x_0|^\beta \nabla u \|_{L^{r,s}} < \infty$.
3. Une borne sur la norme de la contrainte associée : $\sup_{x_0} \int_0^T \| |x - x_0|^{-4/3} |\nabla u|^{q-1} \|_{L^{3/2}}^{3/2} d\tau < \infty$.

Alors, sous certaines contraintes sur les exposants $(r, s, \beta, q)$, la solution est semi-régulière jusqu'au temps $T$.

5. Signification

Ce travail est significatif pour la théorie des fluides non-newtoniens car il étend les connaissances sur la stabilité et la régularité des solutions dans le cas où le fluide perd de sa viscosité sous l'effet du cisaillement (shear-thinning). En utilisant des inégalités de type CKN, l'auteur fournit un cadre mathématique permettant de traiter des singularités locales, ce qui est essentiel pour comprendre la dynamique des fluides complexes dans des domaines non bornés ($\mathbb{R}^3$).