Dynamical Mordell-Lang conjecture for split self-maps of affine curve times projective curve

1. Problématique et Contexte

Le papier s'attaque à la conjecture de Mordell-Lang dynamique (DML), un problème central en dynamique arithmétique proposé par Ghioca et Tucker.

• Énoncé de la conjecture : Soit $f : X \to X$ un endomorphisme d'une variété quasi-projective sur un corps $K$ de caractéristique 0, et $V$ une sous-variété fermée de $X$. Pour tout point $x \in X(K)$, l'ensemble des temps de retour $\{n \in \mathbb{N} \mid f^n(x) \in V(K)\}$ doit être une union finie de progressions arithmétiques.
• État de l'art : La conjecture est déjà établie dans plusieurs cas notables, notamment lorsque $f$ est un endomorphisme étale (sur $\mathbb{C}$) ou lorsque $X = \mathbb{A}^2_{\mathbb{C}}$.
• Objectif du papier : Prouver la conjecture DML pour le produit d'endomorphismes agissant sur une variété de la forme $X \times Y$, où $X$ est une courbe affine et $Y$ est une courbe projective, toutes deux définies sur $\mathbb{Q}$. Plus précisément, les auteurs étudient les applications « séparées » (split) de la forme $f \times g$.

2. Résultats Principaux

Les auteurs établissent les résultats suivants :

• Théorème 1.1 : La conjecture DML est vraie pour $(X \times Y, f \times g)$, où $X$ est une courbe affine, $Y$ une courbe projective sur $\mathbb{Q}$, et $f, g$ des endomorphismes.
• Proposition 1.2 (Cas clé) : Le cas fondamental est celui de $\mathbb{A}^1 \times \mathbb{P}^1$. Si $f : \mathbb{A}^1 \to \mathbb{A}^1$ et $g : \mathbb{P}^1 \to \mathbb{P}^1$ sont des endomorphismes sur $\mathbb{Q}$, alors la conjecture DML vaut pour $(\mathbb{A}^1 \times \mathbb{P}^1, f \times g)$.
• Corollaire 1.3 : Une généralisation est obtenue pour des variétés de dimension supérieure. Si $X$ est une variété affine et $Y$ une variété projective sur $\mathbb{Q}$, et si les systèmes $(X, f)$ et $(Y, g)$ satisfont la propriété DML(1) (conjecture vraie pour toute courbe), alors le produit $(X \times Y, f \times g)$ satisfait également la propriété DML(1).

3. Méthodologie et Preuve

La preuve repose sur une analyse fine du comportement asymptotique des orbites dans les places $v$-adiques (hauteurs locales), exploitant la différence de comportement entre la composante affine et la composante projective.

A. Réductions et Hypothèses

Pour prouver la Proposition 1.2 (le cas $\mathbb{A}^1 \times \mathbb{P}^1$), les auteurs effectuent les réductions suivantes :

1. Ils se ramènent au cas où $\deg(f) = \deg(g) = d > 1$.
2. Ils supposent qu'aucune itérée de $g$ n'est conjuguée à un polynôme (sinon, on retombe sur le cas $\mathbb{A}^2$ déjà résolu).
3. On considère un point de départ $(x_0, y_0)$ non pré-périodique et une courbe irréductible $C$ qui n'est pas une fibre verticale ou horizontale. L'objectif est de montrer que l'intersection de l'orbite avec $C$ est finie.

B. Analyse des Vitesses de Croissance (Lemme 2.2)

Un point crucial est l'analyse de la croissance de la coordonnée affine $x_n = f^n(x_0)$.

• Les auteurs utilisent le lemme 2.2 pour montrer qu'il existe une place $v$ du corps de nombres $K$ telle que $|f^n(x_0)|_v$ tend vers l'infini avec une vitesse maximale, c'est-à-dire exponentielle en $d^n$ :
  $$c_1 d^n < \log |f^n(x_0)|_v < c_2 d^n$$
  pour des constantes positives $c_1, c_2$.

C. Argument de Contradiction par les Places $v$-adiques

L'argument central repose sur l'équation définissant la courbe $C$ dans $\mathbb{A}^1 \times \mathbb{P}^1$.

1. Comportement de $x_n$ : Grâce au lemme 2.2, la coordonnée $x_n$ s'éloigne de l'origine très rapidement dans la place $v$.
2. Contrainte sur $y_n$ : Si l'orbite reste dans $C$ infiniment souvent, l'équation de $C$ impose une contrainte forte sur la coordonnée projective $y_n = g^n(y_0)$. Spécifiquement, pour que l'équation soit satisfaite lorsque $x_n \to \infty$, la coordonnée $y_n$ doit tendre vers l'un des points d'intersection de $C$ avec la droite à l'infini ($b_1, \dots, b_k$) avec une vitesse très rapide (l'inverse de la vitesse de $x_n$).
3. Utilisation du Lemme 2.1 (Silvester) : Ce lemme stipule que pour un endomorphisme de $\mathbb{P}^1$ sans point exceptionnel, aucune sous-suite d'orbite non pré-périodique ne peut tendre vers un point avec une vitesse maximale (exponentielle en $d^n$).
4. Le Conflit :
   • La géométrie de $C$ force $y_n$ à converger vers un point $b_i$ avec une vitesse $\sim d^n$.
   • La dynamique de $g$ (sous l'hypothèse qu'elle n'est pas conjuguée à un polynôme, donc sans point exceptionnel) interdit une telle convergence rapide pour une orbite non pré-périodique.
   • Cette contradiction implique que l'intersection ne peut pas être infinie.

D. Cas Général (Théorème 1.1)

Pour les courbes de genre supérieur, les auteurs utilisent la classification des courbes :

• Si le genre est $>1$, l'itération de l'application est l'identité (cas trivial).
• Si le genre est 1, l'application est étale (résultat connu de [BGT10]).
• Si le genre est 0, on se ramène au cas $\mathbb{P}^1$ ou $\mathbb{A}^1$, permettant d'appliquer la Proposition 1.2.

4. Contributions Clés

1. Résolution d'un cas mixte : C'est la première preuve de la conjecture DML pour un produit d'une variété affine et d'une variété projective de dimension 1, comblant une lacune entre les résultats sur $\mathbb{A}^2$ et les variétés étales.
2. Technique de comparaison de vitesses : L'article introduit une méthode élégante comparant la vitesse de divergence d'une coordonnée affine (via les hauteurs locales) et la vitesse de convergence d'une coordonnée projective vers un point d'intersection, en s'appuyant sur l'absence de points exceptionnels pour les applications non-polynomiales.
3. Généralisation structurelle : Le Corollaire 1.3 montre que la propriété DML(1) se préserve sous produit direct, offrant un outil puissant pour traiter des variétés de dimension supérieure construites comme produits.

5. Signification

Ce travail est significatif pour la dynamique arithmétique car il étend la portée de la conjecture de Mordell-Lang dynamique au-delà des variétés purement affines ou purement projectives. Il démontre que la structure « séparée » (split) d'un système dynamique permet de contrôler les intersections avec des sous-variétés en exploitant les asymétries dynamiques entre les composantes. La méthode développée, reliant la géométrie des courbes dans les produits à l'analyse $v$-adique des orbites, pourrait inspirer des approches pour d'autres systèmes dynamiques sur des variétés mixtes.