Weighted Hardy-Sobolev type inequalities with boundary terms

Résumé Technique : Inégalités de type Hardy-Sobolev pondérées avec termes de bord

Problématique
L'article traite de l'établissement de nouvelles classes d'inégalités fonctionnelles de type Hardy-Sobolev dans des domaines non bornés définis par le surgraphique d'une fonction continue $\psi : \mathbb{R}^{N-1} \to \mathbb{R}$. Le problème central est de déterminer comment des poids $W$ (fonctions de potentiel) peuvent contrôler les normes des fonctions et de leurs gradients, tout en intégrant des termes de trace (valeurs sur la frontière $\partial\Omega$). L'originalité réside dans le fait que les inégalités s'appliquent à des fonctions qui ne s'annulent pas nécessairement sur la frontière, contrairement aux versions classiques de Hardy.

Méthodologie
Les auteurs utilisent une approche basée sur l'analyse de la monotonie de la fonction de poids $W$ par rapport à la direction normale $x_N$. La méthodologie repose sur :

1. L'intégration par parties et le théorème de Fubini : Pour lier l'intégrale du gradient à l'intégrale de la fonction et au terme de bord.
2. L'inégalité de Young : Utilisée pour décomposer les produits de fonctions et de gradients afin d'isoler les termes de poids souhaités.
3. L'interpolation et l'inégalité de Gagliardo-Nirenberg-Sobolev (GNS) : Pour étendre les inégalités de Hardy vers des plongements de Sobolev (subcritiques et critiques).
4. Le changement de variables par difféomorphisme : Pour transformer le domaine complexe $\Omega$ en un demi-espace $\mathbb{R}^N_+$, permettant ainsi l'application des résultats classiques.

Contributions Clés et Résultats

L'étude est divisée en deux cas fondamentaux selon la monotonie de $W$ :

1. Cas des poids croissants (Type I) :

   • Inégalité de Hardy (Théorème 1.1) : Si $W_{x_N} > 0$, l'intégrale pondérée de $|u|^p$ et le terme de trace sur la frontière sont contrôlés par l'intégrale pondérée du gradient $|\nabla u|^p$.
   • Plongements de Sobolev (Théorèmes 3.4 et 3.6) : Établissement de la continuité des plongements dans des espaces de Lebesgue pondérés $L^{q(s)}(\Omega, W^{s/p}x_N^{-1})$, couvrant les cas subcritiques et le cas limite $p=N$.
   • Plongement de trace (Théorème 3.9) : Démonstration que les fonctions de l'espace de Sobolev pondéré possèdent une trace continue sur la frontière $\partial\Omega$.

2. Cas des poids décroissants (Type II) :

   • Inégalité de Hardy (Théorème 1.2) : Si $W_{x_N} < 0$, une structure différente apparaît où le terme de trace est déporté du côté droit de l'inégalité.
   • Plongements de Sobolev et de trace (Théorèmes 4.1 et 4.4) : Résultats analogues au cas croissant, adaptés à la décroissance du poids.

Signification et Applications

• Analyse des EDP : Ces résultats sont cruciaux pour l'étude des problèmes elliptiques sur des domaines non bornés avec des conditions aux limites de type Neumann ou Robin. Les inégalités permettent de garantir que les fonctionnelles d'énergie associées sont bien définies et possèdent les propriétés de compacité nécessaires pour appliquer la théorie des points critiques.
• Optimisation des domaines : L'article montre que les résultats restent valides pour des domaines dont la frontière est simplement continue (sans nécessiter de régularité $C^1$ ou de vecteur normal sortant classique), ce qui élargit considérablement le champ d'application par rapport aux travaux antérieurs.
• Sharpness (Caractère optimal) : Les auteurs fournissent des contre-exemples montrant que leurs conditions sur les poids et les exposcents sont optimales (notamment la condition $\gamma > p-1$ pour l'extension de l'inégalité de Hardy).

Conclusion
Ce travail fournit un cadre unifié et puissant pour manipuler des inégalités fonctionnelles pondérées dans des géométries complexes, offrant des outils essentiels pour la théorie moderne des équations aux dérivées partielles non linéaires.