Derived algebras on formal stacks and prismatic gauges

1. Problématique et Contexte

L'article s'inscrit dans le cadre de la géométrie algébrique dérivée et vise à comprendre l'interaction entre deux théories avancées :

1. La théorie des algèbres dérivées (au sens de Bhatt-Mathew et Raksit) : Il s'agit d'une généralisation robuste des anneaux animés (simpliciaux commutatifs) aux anneaux non connectifs, permettant de modéliser des structures algébriques complexes comme les anneaux de cohomologie cristalline ou prismatique.
2. La géométrie formelle dérivée : Spécifiquement, l'étude des formels dérivés (formal derived stacks) et des complétions $J$-adiques dans un contexte dérivé.

Le problème central réside dans le fait que la théorie des algèbres dérivées, telle qu'elle est définie par Raksit, nécessite un contexte d'algèbre dérivée avec une structure $t$ compatible avec les colimites filtrées. Or, les catégories de modules complets (comme les modules $p$-complets sur un anneau $p$-adique) ne satisfont pas toujours cette condition (la partie co-connective n'est pas stable par colimites filtrées). Cela crée une obstruction à l'application directe de la théorie des algèbres dérivées aux objets formels et prismatiques, pourtant essentiels en théorie de Hodge $p$-adique et en cohomologie prismatique.

L'objectif est donc de développer une théorie cohérente des algèbres dérivées complètes et d'établir des théorèmes de classification pour ces algèbres sur des empilements formels filtrés, notamment ceux liés à la prismatisation.

2. Méthodologie

L'auteur développe une approche systématique combinant l'algèbre homotopique supérieure, la théorie des catégories présentables et la descente :

• Algèbres dérivées complètes ($J$-completes) : L'auteur définit rigoureusement la sous-catégorie pleine des algèbres dérivées dont les modules sous-jacents sont $J$-complets. Il démontre que cette catégorie est une sous-catégorie localisante de la catégorie des algèbres dérivées générales et qu'elle hérite d'une structure symétrique monoidale.
• Monadicité et Comonadicité : Une grande partie du travail repose sur l'application du théorème de Barr-Beck-Lurie (et sa version comonadique). L'auteur étudie les adjonctions entre les catégories d'algèbres dérivées graduées et les algèbres dérivées non graduées, en particulier via les foncteurs de poussée directe à support compact ($\pi_!$) et de tiré en arrière ($\pi_*$).
• Géométrie des empilements (Stacks) : L'article utilise la descente plate (flat descent) pour les algèbres dérivées. Il montre que le foncteur $A \mapsto \text{DAlg}_A$ est un faisceau pour la topologie fidèlement plate.
• Construction de Rees : L'auteur exploite la construction de Rees pour établir des équivalences entre les modules filtrés et les modules gradués sur l'anneau de Rees, étendant cette correspondance au niveau des algèbres dérivées et des empilements.
• Empilements formels : Il définit les empilements formels $J$-adiques via des limites de schémas affines et établit une équivalence entre les faisceaux quasi-cohérents sur ces empilements et les modules complets.

3. Contributions Clés et Résultats Principaux

A. Théorie des Algèbres Déduites Complètes

• Théorème 1.10 : L'auteur établit que la catégorie des algèbres dérivées $J$-completes, notée $\text{DAlg}^{\text{J-comp}}_A$, est une sous-catégorie localisante de $\text{DAlg}_A$. Le foncteur d'oubli vers les modules complets est monadique, avec un adjoint à gauche donné par la complétion du monade $\text{LSym}_A$.
• Théorème 1.11 : Il prouve une équivalence canonique $\text{QCoh}(\text{Spf}(A)) \simeq \text{Mod}^{\text{J-comp}}_A$, reliant les faisceaux quasi-cohérents sur le spectre formel aux modules complets, même dans le contexte dérivé non connectif.

B. Comonadicité Continue et Algèbres Graduées

• Théorème 1.12 : L'article démontre une adjonction comonadique "continue" entre les algèbres dérivées graduées complètes et les algèbres dérivées complètes. Le comonade est identifié à une action continue de l'algèbre de Hopf bicommutive complétée $A[Z]^\wedge_J$.
• Ce résultat généralise les travaux de Moulinos sur les anneaux discrets au contexte complet et dérivé.

C. Classification sur les Empilements Géométriques

• Théorème 1.13 : Pour un anneau animé $A$, il existe une équivalence $\text{DAlg}(B\mathbb{G}_m \times \text{Spf}(A)) \simeq \text{GrDAlg}^{\text{J-comp}}_A$. Cela classe les algèbres dérivées sur l'empilement classifiant $B\mathbb{G}_m$ (dans le contexte formel) par les algèbres dérivées graduées complètes.
• Théorème 1.14 : Pour un morphisme quasi-affine $f: X \to Y$ d'empilements dérivés, il existe une équivalence $\text{DAlg}(X) \simeq \text{DAlg}(Y)_{f_*\mathcal{O}_X/}$. Cela permet de classifier les algèbres sur la source par les algèbres sur la cible munies d'une structure de module sur le pushforward du faisceau structural.

D. Applications à la Prismatisation et aux Filtres

• Théorème 1.15 et Corollaire 1.16 : L'auteur applique ces résultats aux prismes orientables. Il établit une équivalence entre les algèbres dérivées filtrées complètes sur un prisme $(A, I)$ et les algèbres dérivées sur l'empilement formel filtré associé (lié à la prismatisation de Nygaard).
  $$\text{FilDAlg}^{\text{comp}}_{\text{Fil}(d)A} \simeq \text{DAlg}(\text{Spf}(A[u, t]/(ut - d))/\mathbb{G}_m)$$
• Cela fournit un cadre théorique pour la cohomologie prismatique filtrée de Nygaard, reliant les structures algébriques abstraites aux objets géométriques concrets.

4. Signification et Impact

Ce travail est fondamental pour plusieurs raisons :

1. Résolution d'obstructions techniques : Il comble un vide théorique en permettant de manipuler des algèbres dérivées non connectives dans des contextes complets (comme les anneaux $p$-adiques), là où les définitions standards échouent à cause de problèmes de stabilité des colimites.
2. Fondation pour la cohomologie prismatique : Les résultats servent de base rigoureuse pour les travaux futurs de l'auteur ([Sah26a], [Sah26b]) concernant la prismatisation relative et la théorie de Nygaard. Ils permettent de traiter les coefficients de la cohomologie prismatique comme des algèbres dérivées sur des empilements formels.
3. Généralisation de la théorie de Tannaka : Bien que la dualité de Tannaka classique ne s'applique pas directement en géométrie dérivée non connective, l'article propose des alternatives via la descente et la comonadicité pour classifier les catégories de faisceaux et d'algèbres sur des empilements comme $B\mathbb{G}_m$ et les empilements filtrés.
4. Outils pour la géométrie formelle dérivée : L'article fournit des outils nouveaux (comme la notion d'empilement formel $J$-adique et la descente pour les algèbres complètes) qui sont susceptibles d'être utiles au-delà de la cohomologie prismatique, par exemple dans le développement d'un cadre de Tannaka pour la géométrie formelle dérivée.

En résumé, cet article pose les fondations techniques nécessaires pour intégrer la théorie des algèbres dérivées non connectives dans le monde des géométries formelles et prismatiques, ouvrant la voie à de nouvelles classifications et à une compréhension plus profonde des structures cohomologiques en caractéristique $p$ et en mélange de caractéristiques.