Hecke curves in Frobenius strata of moduli space of rank 2 vector bundles

Résumé Technique

1. Problématique

L'étude porte sur la géométrie des espaces de modules de fibrés vectoriels stables de rang 2 sur une courbe projective lisse $X$ de genre $g \geq 2$, définie sur un corps algébriquement clos $k$ de caractéristique 2.

Le problème central concerne la stratification de Frobenius. En caractéristique $p > 0$, l'application de Frobenius $F: X \to X$ peut détruire la stabilité d'un fibré vectoriel. Les points de l'espace de modules $\mathcal{M}_X(2, d)$ dont le tirage en arrière par Frobenius ($F^*E$) est instable sont classés par des polygones de Harder-Narasimhan (HNP), formant ainsi des sous-variétés fermées appelées strates de Frobenius $\mathcal{M}_j$. L'objectif des auteurs est de comprendre la présence de courbes rationnelles (notamment les courbes de Hecke) au sein de ces strates.

2. Méthodologie

Les auteurs emploient une approche combinant la théorie des fibrés vectoriels, la géométrie des espaces de modules et les transformations de Hecke. La méthodologie repose sur trois piliers :

• Analyse de la stratification : Utilisation des résultats de K. Joshi et al. pour caractériser les strates $\mathcal{M}_j$ et leurs propriétés de dimension et d'inclusion.
• Transformations de Hecke : Utilisation des constructions de Hecke (types I et II) pour générer des courbes rationnelles. Une courbe de Hecke est construite en modifiant localement un fibré $E$ en un point $x \in X$ via un sous-espace de sa fibre, créant ainsi une famille de fibrés paramétrée par un espace de Grassmannien (ici $\mathbb{P}^1$).
• Étude locale et algébrique : Pour prouver l'existence de courbes dans des strates spécifiques, les auteurs effectuent une analyse locale des modules sur l'anneau des séries formelles $k[[t^2]]$ (dû à la structure de l'application de Frobenius en caractéristique 2) pour vérifier la stabilité des fibrés générés.

3. Contributions Clés et Résultats

L'article démontre trois résultats fondamentaux (Théorème 1.1) :

1. Absence de courbes rationnelles dans la strate maximale : La strate $\mathcal{M}_{g-1}$ ne contient aucune courbe rationnelle. Les auteurs prouvent cela en montrant que $\mathcal{M}_{g-1}$ est isomorphe à une variété abélienne via l'application de Frobenius, et les variétés abéliennes ne contiennent pas de courbes rationnelles.
2. Contenance dans les déterminants fixes : Toute courbe rationnelle dans l'espace de modules global $\mathcal{M}_X(2, d)$ est nécessairement contenue dans une sous-variété $\mathcal{M}_X(2, L)$ où le déterminant $L$ est fixé. Cela découle du fait que l'image de la courbe dans le Jacobien (une variété abélienne) doit être un point.
3. Existence de courbes de Hecke dans la strate $\mathcal{M}_{g-2}$ : C'est la contribution principale. Pour tout point $[E]$ appartenant à la strate $\mathcal{M}_{g-2}(L)$ mais n'appartenant pas à la strate supérieure $\mathcal{M}_{g-1}(L)$, il existe une courbe de Hecke passant par $[E]$ qui reste entièrement contenue dans $\mathcal{M}_{g-2}(L) \setminus \mathcal{M}_{g-1}(L)$.

4. Signification

Ce travail est significatif pour plusieurs raisons :

• Géométrie en caractéristique positive : Il approfondit la compréhension de la géométrie des espaces de modules en caractéristique $p$, où les outils classiques de la caractéristique 0 (comme la stabilité de la fibre) ne s'appliquent pas de la même manière à cause de l'instabilité induite par Frobenius.
• Structure des strates : Il fournit une preuve explicite de la "richesse" géométrique des strates de Frobenius, montrant qu'elles ne sont pas seulement des ensembles de points isolés mais qu'elles sont parcourues par des courbes rationnelles de degré minimal (courbes de Hecke).
• Lien entre Hecke et Frobenius : L'article établit un lien direct entre les transformations de Hecke (opérations locales de modification de fibrés) et la stratification globale induite par l'opérateur de Frobenius, offrant ainsi un outil de construction pour explorer la topologie de ces espaces de modules.