On the interplay between $(p,q)$-growth and $x$-dependence of the energy integrand: a limit case

1. Problématique et Contexte

L'article s'intéresse à la régularité de Lipschitz locale des minimiseurs locaux de fonctionnelles intégrales non autonomes de la forme :
$$\mathcal{F}(z) = \int_{\Omega} F(x, Dz) \, dx$$
où $\Omega$ est un ouvert borné de $\mathbb{R}^n$ ($n \ge 2$).

Le cœur du problème réside dans l'interaction entre deux caractéristiques de la densité d'énergie $F(x, \xi)$ :

1. Croissance non standard (p, q) : La fonction $F$ satisfait des conditions de croissance $(p, q)$ par rapport à la variable gradient $\xi$, avec $1 < p \le q$. Cela signifie que la croissance de $F$ est contrôlée par des puissances $p$ et $q$ différentes, ce qui introduit une anisotropie dans le comportement elliptique.
2. Dépendance en $x$ : La régularité de la fonction par rapport à la variable spatiale $x$ est mesurée dans une classe de Sobolev spécifique. Plus précisément, la dérivée partielle $F_{\xi x}$ est contrôlée par une fonction $h(x)$ appartenant à un espace d'Orlicz-Zygmund $L^r \log^\alpha L$ (avec $r \ge n$ et $\alpha \ge 0$).

Le défi principal : La littérature existante (notamment [12]) a établi la régularité de Lipschitz sous une condition de stricte inégalité liant les exposants $p, q, n$ et $r$ :
$$\frac{q}{p} < 1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{r}$$
Cependant, le cas limite où l'égalité est atteinte, c'est-à-dire :
$$\frac{q}{p} = 1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{r}$$
restait ouvert ou nécessitait des approches distinctes. L'objectif de cet article est de traiter ce cas limite et de fournir une approche unifiée couvrant à la fois l'inégalité stricte et l'égalité, tout en récupérant les résultats connus pour la croissance standard ($p=q$).

2. Méthodologie

La preuve repose sur une stratégie en trois étapes, typique de la théorie de la régularité pour les problèmes non standards, mais avec des innovations techniques cruciales dans la première étape.

A. Estimation a priori (Étape clé)

Les auteurs démontrent une estimation a priori pour les minimiseurs lisses (supposés dans $W^{1,\infty}_{loc}$ et satisfaisant des conditions de régularité supérieure).

• Inégalité de Caccioppoli d'ordre 2 : Ils établissent une inégalité de type Caccioppoli pour la dérivée seconde de la solution, en utilisant des fonctions tests appropriées impliquant les dérivées secondes de $u$.
• Itération de Moser : Une fois l'inégalité de Caccioppoli obtenue, ils appliquent un argument d'itération de type Moser pour passer des normes $L^p$ aux normes $L^\infty$.
• Gestion du cas limite : La difficulté majeure réside dans la gestion du terme source contenant $h(x)$ lorsque la condition sur $q/p$ est une égalité. Les auteurs utilisent des inégalités de Young et des propriétés spécifiques des fonctions de conjugaison de Fenchel (ou polaires) pour gérer la croissance logarithmique introduite par l'exposant $\alpha > 0$ dans l'espace $L^r \log^\alpha L$. Cela permet de "ralentir" le taux de croissance nécessaire pour compenser la perte de régularité dans le cas limite.

B. Approximation

Pour contourner le manque de régularité a priori des solutions générales, les auteurs construisent une suite d'approximations :

• Ils régularisent la fonctionnelle $F$ en une suite de fonctionnelles $F_k$ (lisses, convexes, satisfaisant des conditions de croissance uniformes).
• Ils considèrent les minimiseurs $u_h$ de ces fonctionnelles régularisées. Grâce à la régularité des données approchées, ces solutions sont lisses et satisfont les estimations a priori dérivées à l'étape 1.

C. Passage à la limite

• Ils montrent que la suite des minimiseurs approchés $(u_h)$ converge vers un minimiseur de la fonctionnelle originale.
• Grâce à la stabilité des estimations a priori (indépendantes de l'approximation), ils prouvent que la limite conserve la régularité de Lipschitz locale.

3. Résultats Principaux

Les auteurs établissent trois théorèmes principaux couvrant différents régimes de croissance :

Théorème 1.2 (Cas limite avec $r > n$ et $\alpha > 0$) :
Si l'égalité est atteinte, c'est-à-dire $\frac{q}{p} = 1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{r}$, et que $h \in L^r \log^\alpha L$ avec $\alpha > 0$, alors tout minimiseur local $u$ appartient à $W^{1,\infty}_{loc}(\Omega)$.

• Estimation : La norme $L^\infty$ du gradient est contrôlée par une fonction exponentielle complexe de l'intégrale de l'énergie :
  $$\|Du\|_{L^\infty(B_\rho)} \le G\left( \frac{C}{(R-\rho)^n} \int_{B_R} (1 + |Du|^p) dx \right)$$
  où $G(t)$ implique une croissance exponentielle de type $\exp(t^{\dots})$, reflétant la nature critique du cas limite.

Théorème 1.3 (Cas limite standard $r=n, p=q$) :
Si $r=n$ et $p=q$ (croissance standard), avec $h \in L^n \log^\alpha L$ et $\alpha > 4n$, alors $u \in W^{1,\infty}_{loc}(\Omega)$.

• Ce résultat récupère et affine les résultats antérieurs (notamment [2]) pour la croissance standard avec coefficients peu réguliers. L'estimation est de type puissance (polynomiale).

Théorème 1.4 (Cas strict $q/p < 1 + 1/n - 1/r$) :
Pour l'inégalité stricte et $\alpha=0$, le résultat récupère celui de [12]. L'estimation est de type puissance, avec un exposant dépendant de l'écart entre $q/p$ et la borne critique.

4. Contributions Clés et Originalité

1. Résolution du cas limite : L'article comble une lacune importante en prouvant la régularité de Lipschitz exactement à la frontière de la condition de croissance, là où les méthodes précédentes échouaient ou nécessitaient des hypothèses trop restrictives.
2. Approche unifiée : Les auteurs proposent un cadre unique qui traite simultanément le cas strict, le cas limite avec croissance non standard, et le cas standard. Cela simplifie la théorie et clarifie les dépendances entre les paramètres.
3. Rôle de la régularité logarithmique : L'article démontre que dans le cas critique, la présence d'un facteur logarithmique ($\alpha > 0$) dans la régularité des coefficients ($x$-dépendance) est suffisante pour compenser la croissance non standard $(p, q)$ et assurer la régularité Lipschitzienne. Sans ce facteur logarithmique, la régularité pourrait échouer.
4. Technique d'estimation fine : L'utilisation subtile des fonctions de conjugaison et des inégalités de Young adaptées aux espaces d'Orlicz-Zygmund permet de gérer les termes critiques dans l'itération de Moser.

5. Signification et Impact

Ce travail est significatif pour la théorie de la régularité des équations aux dérivées partielles elliptiques non linéaires.

• Il élargit la classe de fonctionnelles pour lesquelles la régularité de Lipschitz est garantie, touchant des modèles physiques où les matériaux présentent des comportements hétérogènes (dépendance en $x$) et des lois de comportement non standards (croissance $(p, q)$).
• Il clarifie la frontière exacte entre la régularité et la singularité (phénomène de Lavrentiev ou absence de régularité) en fonction de la relation entre la dimension de l'espace, la croissance de l'énergie et la régularité des coefficients.
• Les résultats ouvrent la voie à de nouvelles généralisations, comme mentionné par les auteurs pour un travail futur [17], concernant des interactions encore plus complexes entre la croissance non standard et la régularité des coefficients.

En résumé, cet article fournit une preuve rigoureuse et unifiée que la régularité de Lipschitz est préservée même dans le cas critique où la croissance de l'énergie atteint la limite supérieure permise par la régularité des coefficients, à condition d'inclure un gain logarithmique dans la régularité spatiale.