On Fujita's conjecture for a general hyperkähler manifold in the standard series of examples

Titre et Contexte

Titre : Sur la conjecture de Fujita pour une variété hyperkählère générale dans la série standard d'exemples.
Auteur : Alessandro Pilastro.
Sujet : Géométrie algébrique, variétés hyperkähleriennes, conjecture de Fujita, fibrés en droites amples, base point free (sans point base) et très ample.

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1. Problématique

La conjecture de Fujita stipule que pour une variété complexe compacte $X$ de dimension $n$ et un fibré en droites ample $L$, le fibré $K_X \otimes L^{\otimes m}$ est sans point base pour tout $m \ge n+1$ et très ample pour $m \ge n+2$.
Bien que la conjecture soit ouverte en général, elle est vérifiée pour les surfaces K3 (avec des bornes plus faibles : $m \ge 2$) et les variétés abéliennes ($m \ge 3$).

L'objectif de cet article est d'étendre ces résultats aux variétés hyperkähleriennes, en particulier aux deux familles principales qui existent en toute dimension :

1. Les variétés de type K3$^{[n]}$ (déformations de l'éclatement de Hilbert de $n$ points sur une surface K3).
2. Les variétés de type Kum$_n$ (déformations des variétés de Kummer généralisées associées à une surface abélienne).

Le problème central est de déterminer des conditions suffisantes sur les invariants numériques (le carré de la polarisation $2d$ et sa divisibilité $t$) garantissant que la polarisation générale d'une telle variété est sans point base (base point free) et très ample.

2. Méthodologie

L'auteur combine plusieurs outils de géométrie algébrique et de théorie des réseaux :

• Faisceaux tautologiques sur les schémas de Hilbert : L'étude repose sur la construction de faisceaux tautologiques $F^{[n]}$ associés à un fibré $F$ sur une surface $S$, définis sur le schéma de Hilbert $S^{[n]}$. L'article établit comment les propriétés de $F$ (comme l'ampleur ou l'absence de point base) se transfèrent à $F^{[n]}$ et à son déterminant.
• Plongements dans les grassmanniennes : L'auteur utilise le fait que si un fibré vectoriel est globalement engendré, il induit un morphisme vers une grassmannienne. Le déterminant de ce fibré vectoriel hérite alors des propriétés d'absence de point base ou d'ampleur très forte si le morphisme est un plongement.
• Structure des réseaux de Picard : L'article exploite la structure de réseau de $H^2(X, \mathbb{Z})$ pour les variétés de type K3$^{[n]}$ et Kum$_n$. Ces réseaux sont décrits comme des sommes orthogonales impliquant le réseau de K3 (ou d'une surface abélienne) et une classe exceptionnelle $\delta$.
• Propriétés d'ouverture : Un point clé de la preuve est l'utilisation du fait que les propriétés "sans point base" et "très ample" sont ouvertes dans les familles plates de variétés hyperkähleriennes. Cela permet de prouver le résultat pour un élément général en le démontrant pour un exemple spécifique construit.
• Théorie des nombres et composantes connexes : L'auteur utilise des formules existantes (Debarre, Hassett-Tschinkel) pour compter le nombre de composantes connexes des espaces de modules $\Sigma^n_{d,t}$ et $\Upsilon^n_{d,t}$, afin de savoir quand un espace est non vide et connexe.

3. Contributions Clés et Résultats Principaux

A. Construction de fibrés amples via les schémas de Hilbert

L'article démontre que si $L$ est un fibré sur une surface $S$ :

• Si $L$ est $(n-1)$-très ample, alors le fibré déterminant $\det(L^{[n]})$ est sans point base sur $S^{[n]}$.
• Si $L$ est $n$-très ample, alors $\det(L^{[n]})$ est très ample.
  Cela permet de construire des fibrés amples sur les variétés hyperkähleriennes à partir de fibrés sur des surfaces de dimension 2.

B. Caractérisation des espaces de modules non vides

La Proposition 5.10 fournit une condition nécessaire et suffisante pour qu'un espace de modules $\Sigma^n_{d,t}$ (type K3) ou $\Upsilon^n_{d,t}$ (type Kum) soit non vide. Cela permet d'éliminer les cas triviaux où les inégalités de la conjecture ne s'appliquent pas car l'espace est vide.

C. Théorèmes principaux (Théorème 0.1 et Théorème 5.8)

L'auteur établit des bornes explicites sur $d$ (le carré de la polarisation) en fonction de la dimension $n$ et de la divisibilité $t$. Soit $\tau = \frac{t^2}{2(t-1)}$.

Pour les variétés de type K3$^{[n]}$ ($\Sigma^n_{d,t}$) :

• Sans point base : Si $d \ge (\tau - 1)n + \tau + 1$, la polarisation générale est sans point base.
• Très ample : Si $d \ge (\tau - 1)n + 2\tau + 1$, la polarisation générale est très ample.

Pour les variétés de type Kum$_n$ ($\Upsilon^n_{d,t}$) :

• Sans point base : Si $d \ge (\tau - 1)n + 2\tau - 1$, la polarisation générale est sans point base.
• Très ample : Si $d \ge (\tau - 1)n + 3\tau - 1$, la polarisation générale est très ample.

Cas particuliers ($t=1$) :
Pour $t=1$, les résultats sont plus précis :

• Pour K3$^{[n]}$, si $d \ge n+1$, la polarisation est très ample.
• Pour Kum$_n$, si $d \ge n+4$, la polarisation est très ample.

D. Généralisation de la conjecture de Fujita

Le Lemme 5.12 et le Corollaire 5.13 montrent que pour une variété hyperkählère de dimension complexe $n$ munie d'un fibré ample et sans point base $H$, le fibré $H^{\otimes(n+2)}$ est toujours très ample. Cela confirme une version de la conjecture de Fujita pour ces variétés avec des bornes optimales ($m=n+2$), indépendamment des invariants $d$ et $t$, dès lors que $H$ est sans point base.

4. Signification et Impact

1. Unification des résultats : Ce travail généralise les résultats antérieurs de Rieß, Varesco et Debarre (qui étaient limités à de petites dimensions ou à des divisibilités spécifiques $t=1, 2$) à toutes les dimensions et toutes les divisibilités possibles.
2. Précision des bornes : Les bornes obtenues sont explicites et dépendent de la divisibilité $t$ via le paramètre $\tau$. Elles montrent comment la géométrie de la polarisation se dégrade ou s'améliore selon la structure du réseau de Picard.
3. Outils pour la géométrie birationnelle : La connaissance des conditions d'existence de plongements très amples est cruciale pour l'étude des applications rationnelles, des modèles de Mori et de la géométrie des espaces de modules de variétés hyperkähleriennes.
4. Méthodologie robuste : L'approche combinant la construction explicite d'exemples sur les schémas de Hilbert avec l'argument d'ouverture dans les familles démontre une méthode puissante pour traiter les problèmes d'ampleur sur les variétés de haute dimension.

En résumé, l'article fournit une réponse quasi-complète à la question de l'ampleur des polarisations générales sur les séries standards de variétés hyperkähleriennes, en reliant profondément la théorie des réseaux, la géométrie des schémas de Hilbert et la conjecture de Fujita.