Poincaré duality in logarithmic motivic homotopy theory

1. Problématique et Contexte

L'objectif principal de cet article est d'établir la dualité de Poincaré dans le cadre de la théorie de l'homotopie motivique logarithmique ($\logSH$).

• Contexte motivique classique : Dans la théorie de l'homotopie motivique standard ($SH$), la dualité de Poincaré pour une morphisme lisse et projectif $f: X \to S$ s'exprime par un isomorphisme entre le foncteur image directe $f_\#$ et le foncteur image directe tordu par le fibré cotangent : $f_\# \simeq f_* \Sigma^{\Omega^1_f}$. Ce résultat a été prouvé par divers auteurs (Voevodsky, Ayoub, Déglise, etc.) en supposant souvent la résolution des singularités ou en travaillant dans des catégories où $\mathbb{A}^1$ est contractile.
• Le défi logarithmique : La théorie logarithmique ($\logSH$) introduite par Binda, Park et Østvær permet de traiter les schémas avec "frontière" (via les schémas log lisses). Cependant, une différence fondamentale existe : dans $\logSH$, l'espace $\mathbb{A}^1$ n'est pas contractile. Par conséquent, de nombreuses théories de cohomologie non invariants par $\mathbb{A}^1$ (comme la cohomologie de Hodge, la cohomologie cyclique topologique, la cohomologie prismatique) y sont représentables, mais les techniques classiques basées sur l'invariance $\mathbb{A}^1$ échouent.
• Obstacle spécifique : Une preuve précédente de la dualité de Poincaré dans un cadre motivique général (Annala-Hoyois-Iwasa) reposait sur l'existence de morphismes de Gysin de Tang avec une naturalité forte. Cette naturalité n'est pas disponible pour les morphismes de Gysin logarithmiques.

2. Méthodologie

L'auteur adapte les arguments d'Annala-Hoyois-Iwasa au contexte logarithmique en développant de nouveaux outils techniques pour contourner l'absence de la naturalité forte des morphismes de Gysin.

• Cadre axiomatique : Le travail est mené dans un cadre axiomatique général $T$ (une catégorie $\infty$-stable symétrique monoïdale sur les schémas log finis saturés) satisfaisant des conditions de base (formule de changement de base, formule de projection, invariance par $\mathbb{P}^1$, invariance par les revêtements divisants). $\logSH$ est un exemple de tel cadre.
• Morphismes de Gysin logarithmiques : L'article utilise les morphismes de Gysin log définis par Binda-Park-Østvær. Au lieu de la naturalité forte (inexistante), l'auteur prouve une naturalité faible (Théorème 5.5) en suivant la stratégie de Déglise, suffisante pour les besoins de la dualité.
• Espaces de Thom et dualité :
  • Définition et étude des espaces de Thom pour les fibrés vectoriels sur des schémas log.
  • Preuve que l'espace de Thom d'un fibré vectoriel est inversible dans la catégorie motivique (Proposition 3.3).
  • Construction d'une morphisme d'évaluation ($ev$) et d'un morphisme de comparaison ($comp$) reliant le dual de la motive $MS(X)$ à l'espace de Thom tordu par le fibré cotangent logarithmique.
• Technique de réduction : L'auteur utilise des réductions locales (topologie de Zariski, descente Nisnevich stricte) et des propriétés de stabilité par éclatements admissibles pour ramener les problèmes globaux à des cas locaux où les calculs sont explicites (ex: éclatements de centres lisses).

3. Contributions et Résultats Clés

A. Dualité de Poincaré pour les morphismes projectifs (Théorème A / Théorème 8.2)

L'auteur prouve que pour tout morphisme projectif lisse $f: X \to S$ de schémas log finis saturés, il existe un isomorphisme naturel :
$$f_\# \simeq f_* \Sigma^{\Omega^1_f}$$
où $\Sigma^{\Omega^1_f}$ désigne la suspension par le fibré cotangent logarithmique.

• Signification : Cela établit la dualité de Poincaré dans $\logSH$ sans hypothèse de résolution des singularités, et ce, pour des théories de cohomologie non invariantes par $\mathbb{A}^1$.

B. Dualité de Lefschetz motivique (Théorème B / Théorème 8.3)

Pour une immersion fermée $Z \hookrightarrow X$ de schémas projectifs lisses, l'auteur établit une dualité pour le couple $(X, Z)$, vu comme un schéma log avec frontière. La motive relative $\Sigma^\infty X/Z$ est dualisable, et son dual est donné par l'espace de Thom inversé du fibré cotangent logarithmique associé au couple $(X, Z)$.

• Rôle : Ce résultat est crucial pour traiter les éclatements et les carrés de blow-up.

C. Stabilité par éclatements (Théorème 9.3)

L'article démontre que si la dualité de Poincaré vaut pour trois des quatre coins d'un carré d'éclatement lisse (smooth blow-up square), elle vaut nécessairement pour le quatrième. Cela permet d'étendre la dualité de cas projectifs simples à des morphismes propres plus généraux via des factorisations.

D. Indépendance de la cohomologie cristalline (Théorème C / Théorème 10.7)

En appliquant la dualité de Poincaré, l'auteur reconstruit une théorie de cohomologie pour les schémas sur un corps parfait $k$ de caractéristique $p > 0$.

• Résultat : Il existe un faisceau $cdh$ de complexes $R\Gamma^{lc}_{crys}$ tel que pour tout schéma log lisse projectif $X$, on a :
  $$R\Gamma^{lc}_{crys}(X - \partial X) \simeq R\Gamma_{crys}(X)$$
  Cela signifie que la cohomologie cristalline d'une variété est indépendante du choix de sa compactification logarithmique.
• Outils utilisés : La preuve repose sur le fait que le spectre de cohomologie cristalline est un module sur le spectre sphère localisé en $\mathbb{A}^1$, utilisant la trace cyclotomique logarithmique (construite dans [21, 22]) comme entrée non triviale.

E. Échec de la propriété de localisation (Théorème 11.2)

L'auteur montre que la propriété de localisation (qui dit que pour une immersion fermée $i: Z \hookrightarrow X$, la suite $j_\# j^* \to id \to i_* i^*$ est une suite fibrée) échoue dans $\logSH$ pour les immersions fermées non ouvertes de schémas lisses.

• Cause : Cela est dû à l'existence de théories de cohomologie non invariantes par $\mathbb{A}^1$ (comme la cohomologie de Hodge) représentables dans $\logSH$, qui ne sont pas invariantes par les immersions nilpotentes.

4. Importance et Impact

• Unification théorique : Ce travail complète la théorie de l'homotopie motivique logarithmique en y intégrant la dualité de Poincaré, un pilier fondamental de la géométrie algébrique.
• Nouvelles applications : Il ouvre la voie à l'application de la dualité de Poincaré à des théories de cohomologie "exotiques" (prismatiques, syntomiques, cycliques topologiques) qui n'étaient pas accessibles dans le cadre classique $SH$ en raison de la non-invariance $\mathbb{A}^1$.
• Résolution de problèmes ouverts : La preuve de l'indépendance de la compactification pour la cohomologie cristalline répond à une question importante, généralisant des travaux antérieurs d'Ertl-Shiho-Sprang et Merici, mais sans nécessiter l'hypothèse forte de résolution des singularités dans le même cadre.
• Limites identifiées : La démonstration de l'échec de la propriété de localisation clarifie les limites structurelles de $\logSH$ par rapport aux catégories motiviques classiques, soulignant la richesse et la complexité des théories non $\mathbb{A}^1$-invariantes.

En résumé, Doosung Park réussit à adapter les techniques de dualité motivique au monde logarithmique en surmontant l'obstacle de la contractibilité de $\mathbb{A}^1$, fournissant ainsi un cadre robuste pour l'étude de la géométrie des schémas avec frontière et de leurs invariants cohomologiques.