Quasi-reductive supergroups with small even parts

1. Problématique et Contexte

L'objectif principal de cet article est de classifier et de décrire tous les supergroupes affines et algébriques $G$ (sur un corps algébriquement clos $k$ de caractéristique 0 ou impaire) dont le plus grand sous-groupe pair (ou « partie paire »), noté $G_{ev}$, est isomorphe à l'un des groupes classiques suivants :

• $GL_2$ (Groupe linéaire général),
• $SL_2$ (Groupe linéaire spécial),
• $PSL_2$ (Groupe projectif spécial).

Ce travail est motivé par l'étude des centralisateurs de tores dans les supergroupes quasi-réductifs. Si $G$ est un supergroupe quasi-réductif et $S$ un tore dans $G_{ev}$, alors le centralisateur $Cent_G(S)$ est lui-même un supergroupe quasi-réductif. L'analyse de la structure de ces centralisateurs (notamment $G_\alpha = Cent_G(T_\alpha)$ où $T_\alpha$ est un sous-tore de codimension 1) réduit le problème à la classification des supergroupes dont la partie paire est de rang semi-simple 1, c'est-à-dire isomorphe à $SL_2$, $PSL_2$ ou $GL_2$.

2. Méthodologie

L'auteur utilise la méthode des paires de Harish-Chandra pour résoudre ce problème. Cette approche repose sur l'équivalence de catégories entre les supergroupes algébriques et les paires de Harish-Chandra $(G, V)$, où :

• $G$ est un groupe algébrique (ici $G_{ev}$).
• $V$ est un $G$-module (correspondant à la partie impaire $\mathfrak{g}_{\bar{1}}$ du supergroupe).
• La structure est définie par une application bilinéaire symétrique $[\cdot, \cdot] : V \times V \to \text{Lie}(G)$ qui est $G$-équivariante et satisfait l'identité de Jacobi super ($[[v,v],v]=0$).

La stratégie consiste donc à :

1. Fixer $G \simeq SL_2$, $PSL_2$ ou $GL_2$.
2. Classifier tous les modules $V$ (partie impaire) et les structures de crochet de Lie compatibles qui définissent des paires de Harish-Chandra valides.
3. Traduire ces paires en supergroupes, en tenant compte des radicaux unipotents et des extensions non triviales.

3. Résultats Principaux

Les résultats sont présentés selon la nature du groupe pair $G_{ev}$.

A. Cas où $G_{ev} \simeq SL_2$

Le théorème 3.18 établit que pour un supergroupe $G$ avec $G_{ev} \simeq SL_2$, le quotient par son radical unipotent $H = G/R_u(G)$ est déterminé par la paire de Harish-Chandra $(SL_2, H_{\bar{1}})$. Le module $H_{\bar{1}}$ est isomorphe à l'un des modules suivants :

1. $0$ : Le supergroupe est split ($G \simeq SL_2 \times (G_a^-)^{\dim V}$).
2. $L(1)$ : Correspond au supergroupe $SpO(2|1)$ (ou $OSp(1|2)$).
3. $L(0) \oplus L(2)$ : Correspond au supergroupe $H(0 \oplus 2)$. Ici, $L(2)$ est identifié à $\mathfrak{sl}_2$ (action adjointe) et $L(0)$ est trivial. Le crochet est non trivial entre $L(0)$ et $L(2)$.
4. $V(3)$ (Module de Weyl de poids 3) : Ce cas n'existe que si la caractéristique $p = 3$. Le supergroupe associé est noté $H(3/1)$. C'est un supergroupe presque simple (au sens fort).

B. Cas où $G_{ev} \simeq PSL_2$

Le cas $PSL_2$ se réduit directement au cas $SL_2$ en considérant l'action du centre $\mu_2$.

• Les modules possibles pour $H_{\bar{1}}$ sont $0$ et $L(0) \oplus L(2)$.
• Le supergroupe correspondant est $H(0 \oplus 2) / \mu_2$.

C. Cas où $G_{ev} \simeq GL_2$

Ce cas est le plus complexe. L'auteur décompose le module $G_{\bar{1}}$ selon les poids du centre $Z \simeq \mathbb{G}_m$ de $GL_2$. Soit $G_{\bar{1}} = \bigoplus_k (G_{\bar{1}})_k$. Le crochet $[(G_{\bar{1}})_k, (G_{\bar{1}})_{-k}]$ peut être isomorphe à $z$ (centre), $\mathfrak{sl}_2$ ou $\mathfrak{gl}_2$.

Les familles principales de supergroupes identifiées sont :

1. Déformations du supergroupe Queer $Q(2)$ :

   • Cas où $[(G_{\bar{1}})_0, (G_{\bar{1}})_0] = \mathfrak{gl}_2$.
   • Le supergroupe est noté $Q(2; a, c)$.
   • $Q(2; 1, 1/2)$ est isomorphe au supergroupe Queer standard $Q(2)$. Les autres cas sont des déformations paramétrées par $a, c$.

2. Familles $K(t)$ (cas $[(G_{\bar{1}})_k, (G_{\bar{1}})_{-k}] = \mathfrak{sl}_2$ avec $k \neq 0$) :

   • Nécessite que la caractéristique $p$ divise $k$.
   • Les supergroupes sont notés $K(t)$. Ils contiennent un sous-groupe normal isomorphe à $H(0 \oplus 2)$.

3. Familles $S(t)$ et $L(t)$ (cas $[(G_{\bar{1}})_k, (G_{\bar{1}})_{-k}] = \mathfrak{gl}_2$ avec $p|k$) :

   • Ces cas impliquent des structures plus complexes avec des sous-modules triviaux et non triviaux.
   • $S(t)$ et $L(t)$ sont des supergroupes distincts, non isomorphes entre eux ni aux autres familles.
   • Les conditions d'isomorphisme sont $S(t) \simeq S(t') \iff t = \pm t'$ (et idem pour $L$).

4. Familles $H(t)$ (cas $p \nmid k$) :

   • Correspondent au cas où $k$ n'est pas divisible par la caractéristique.
   • Le supergroupe est noté $H(t)$.
   • Un résultat surprenant est que toutes les algèbres de Lie super $H(t)$ sont isomorphes à $\mathfrak{sl}(2|1)$ (et donc $H(t) \simeq H(1)$).
   • Cependant, les supergroupes $H(t)$ et $H(t')$ sont isomorphes si et seulement si $t = t'$ ou $t + t' = 1$.

4. Applications : Centralisateurs de Tores

L'article applique ces classifications à la structure des centralisateurs $Cent_G(T_\alpha)$ dans un supergroupe quasi-réductif $G$.

• Si $\alpha$ est une racine paire ($\alpha \in \Delta_{\bar{0}}$), le centralisateur $G_\alpha$ est un produit d'un tore et d'un supergroupe dont la partie paire est $SL_2$, $PSL_2$ ou $GL_2$.
• L'auteur détermine le radical résoluble $R(G_\alpha)$ et montre que le quotient $G_\alpha / R(G_\alpha)$ appartient aux classes décrites ci-dessus.
• Hypothèse 6.6 : L'auteur conjecture que si $G$ est un supergroupe quasi-réductif et réductif, alors le centralisateur d'un tore $S$ est également un supergroupe réductif. Il prouve que cela est vrai si et seulement si le noyau de l'action adjointe sur la partie impaire est trivial.

5. Signification et Contributions

• Classification Complète : L'article fournit une classification exhaustive (à isomorphisme près) des supergroupes quasi-réductifs avec une partie paire de rang 1, comblant un vide dans la théorie des supergroupes algébriques, particulièrement en caractéristique positive.
• Nouveaux Exemples : Il introduit et analyse rigoureusement de nouvelles familles de supergroupes ($H(3/1)$, $Q(2; a, c)$, $S(t)$, $L(t)$, $H(t)$) qui généralisent les supergroupes classiques connus comme $SpO(2|1)$, $Q(2)$ et $SL(2|1)$.
• Outils Structurels : L'utilisation systématique des paires de Harish-Chandra et de la théorie des représentations de $SL_2$ et $GL_2$ (modules de Weyl, blocs, filtrations de Loewy) offre un cadre robuste pour l'analyse des supergroupes en caractéristique $p$.
• Impact sur la Théorie des Représentations : Ces résultats sont fondamentaux pour comprendre la structure des centralisateurs, ce qui est une étape clé vers la théorie des racines et des systèmes de racines pour les supergroupes réductifs généraux, analogue à la théorie classique des groupes de Lie.

En résumé, cet article est une contribution majeure à la théorie des supergroupes algébriques, établissant les briques élémentaires nécessaires pour l'étude des supergroupes de rang supérieur via la décomposition en centralisateurs de sous-tores.