On the behavior of analytic torsion for twisted canonical bundles under degenerations

1. Problématique et Contexte

L'article étudie le comportement asymptotique de la torsion analytique équivariante associée à un fibré canonique relatif tordu par un fibré vectoriel holomorphe, dans le cadre d'une dégénérescence de variétés algébriques projectives.

Plus précisément, soit $\pi: X \to S$ une famille de variétés projectives de dimension $n+1$ sur un disque unité $S$ (avec $0 \in S$), munie d'une action d'un groupe de Lie compact $G$. On considère le fibré canonique relatif $K_{X/S}$ twisté par un fibré vectoriel holomorphe $\xi$ muni d'une métrique hermitienne invariante $h_\xi$. L'hypothèse centrale est que $(\xi, h_\xi)$ est Nakano semi-positif sur $X$.

L'objectif principal est de décrire la singularité de la fonction $\log \tau_G(X_s, K_{X_s}(\xi_s))(g)$ (le logarithme de la torsion analytique équivariante de la fibre régulière $X_s$) lorsque $s \to 0$, c'est-à-dire à l'approche du lieu discriminant. L'auteur cherche à établir une expansion asymptotique complète, en identifiant les termes dominants (singularités logarithmiques et log-log) et à fournir des formules topologiques explicites pour les coefficients de ces termes.

2. Méthodologie

La stratégie de preuve repose sur la décomposition de la torsion analytique en deux composantes principales : la métrique de Quillen équivariante et la métrique $L^2$ sur le déterminant de la cohomologie.

1. Réduction de la semi-stabilité : L'auteur utilise un théorème de réduction semi-stable (Hironaka, Mumford) pour passer d'une dégénérescence arbitraire $\pi: X \to S$ à une dégénérescence semi-stable $f: Y \to T$ via un revêtement ramifié $\mu: T \to S$ et une application $F: Y \to X$. Cela permet de travailler sur un espace où la fibre singulière est un diviseur à croisements normaux.
2. Analyse des métriques $L^2$ :
   • En s'appuyant sur les travaux de Takegoshi et Mourougane-Takayama, l'auteur représente les classes de cohomologie par des formes harmoniques.
   • Il établit une expansion asymptotique de type Barlet-Takayama pour les métriques $L^2$ sur les images directes $R^q f_* K_{Y/T}(F^*\xi)$.
   • Une contribution majeure est la preuve de la non-dégénérescence de ces métriques $L^2$ même lorsque la métrique de Kähler de base est dégénérée (ce qui est le cas sur $Y$ par construction), en utilisant des estimations fines et des comparaisons avec des métriques non dégénérées.
3. Comportement des métriques de Quillen équivariantes :
   • L'auteur calcule la singularité des métriques de Quillen en utilisant le théorème d'immersion de Bismut pour les métriques équivariantes.
   • Il introduit des résolutions d'indétermination des applications de Gauss pour définir des intégrales de classes caractéristiques équivariantes (classes de Todd et de Chern) sur les lieux fixes de l'action de $G$.
4. Formules de Bott-Chern et courants :
   • Pour obtenir une formule topologique locale pour le coefficient dominant, l'auteur développe une théorie des courants de type Bott-Chern associés à des morphismes de fibrés vectoriels ayant un lieu de dégénérescence de codimension 1.
   • Il étudie le comportement asymptotique des intégrales de fibres de ces courants, ce qui permet de comparer les métriques de Quillen associées à différentes métriques de Kähler.

3. Contributions Clés et Résultats Principaux

A. Expansion Asymptotique Générale (Théorème 0.1)

L'auteur prouve que le logarithme de la torsion analytique admet une expansion asymptotique de la forme :
$$\log \tau_G(X_s, K_{X_s}(\xi_s))(g) = \kappa_g \log |s|^2 - \varrho_g \log \log(|s|^{-2}) + \gamma_g + O\left(\frac{1}{\log |s|^{-1}}\right)$$
où :

• $\kappa_g$ est le coefficient du terme logarithmique dominant.
• $\varrho_g$ est le coefficient du terme log-log (sous-dominant).
• $\gamma_g$ est une constante.
• Les termes restants impliquent des puissances de $|s|$ et des logarithmes.

B. Formules Topologiques pour les Coefficients (Théorèmes 0.2 et 0.3)

Dans le cas non-équivariant ($G=\{1\}$), l'auteur fournit des formules explicites pour $\kappa$ :

1. Formule globale via réduction semi-stable : $\kappa$ est exprimé comme une intégrale de classes caractéristiques (Todd et Chern) sur la réduction semi-stable $Y$, impliquant un terme $\beta_{Y/X, \xi}$ lié à la dégénérescence de la différentielle de l'application de changement de modèle.
2. Formule locale pour singularités isolées : Si la fibre singulière $X_0$ n'a que des singularités isolées, $\kappa$ s'exprime en fonction du nombre de Milnor $\mu(\pi_x)$ et de la genèse spectrale $epg(\pi_x)$ (introduite par Eriksson et Freixas i Montplet) :
   $$\kappa = -\text{rk}(\xi) \sum_{x \in \text{Sing } X_0} \left( \frac{\mu(\pi_x)}{(n+2)!} - epg(\pi_x) \right)$$
   Ce résultat généralise les travaux antérieurs au cas où $\xi$ est un fibré vectoriel non trivial.

C. Comportement des Métriques $L^2$ (Théorème 0.4)

L'article établit une structure précise pour la singularité des métriques $L^2$ sur les images directes. Il montre que la matrice de Gram $H(s)$ se décompose en $D(t) \tilde{H}(t) D(t)$, où $D(t)$ est une matrice diagonale de puissances de $t$ (liées aux exposants élémentaires) et $\tilde{H}(t)$ admet une expansion asymptotique en puissances de $\log |t|$. Cela généralise les résultats classiques de la théorie de Hodge aux fibrés vectoriels non triviaux.

D. Propriétés de Localité et Applications

• Localité : Le coefficient $\kappa$ est un invariant local déterminé par le comportement de $\pi$ et $\xi$ au voisinage du lieu singulier.
• Cas des singularités canoniques : Si $X_0$ a des singularités canoniques, les termes log-log disparaissent ($\varrho = 0$) et la métrique $L^2$ s'étend continûment.
• Torsion holomorphe des variétés Calabi-Yau : Ces résultats préparent le terrain pour le calcul des invariants de torsion holomorphe sur les variétés Calabi-Yau et les variétés symplectiques holomorphes, sujets traités dans des articles futurs de l'auteur.

4. Signification et Impact

Ce travail est significatif pour plusieurs raisons :

• Généralisation : Il étend la théorie de la torsion analytique (initialement développée pour les fibrés triviaux ou les familles de courbes) au cas de fibrés vectoriels Nakano semi-positifs non triviaux et d'actions de groupes compacts.
• Rigueur technique : Il corrige et complète des résultats antérieurs de l'auteur (prépublications [52], [53]) en fournissant des preuves rigoureuses pour les expansions asymptotiques dans un contexte de métriques dégénérées, un point critique souvent négligé.
• Lien avec la géométrie algébrique : En reliant la torsion analytique à des invariants topologiques locaux (nombre de Milnor, genèse spectrale) et à la théorie de la réduction semi-stable, l'article offre un pont puissant entre l'analyse complexe, la géométrie algébrique et la théorie des singularités.
• Outils nouveaux : Le développement de la théorie des courants de Bott-Chern pour les morphismes dégénérés et l'analyse fine des métriques $L^2$ sur les familles dégénérées constituent des outils techniques qui seront utiles pour d'autres problèmes en géométrie complexe (par exemple, la conjecture de Bismut-Gillet-Soulé ou les invariants de Gromov-Witten).

En résumé, cet article fournit une description complète et topologique de la singularité de la torsion analytique sous dégénérescence, un résultat fondamental pour l'étude des invariants géométriques des familles de variétés complexes.