A posteriori error estimates for a modified Morley FEM

1. Contexte et Problématique

L'article s'intéresse à la résolution numérique de problèmes aux dérivées partielles d'ordre quatre, qui nécessitent traditionnellement une continuité $C^1$ globale pour les méthodes d'éléments finis conformes. La méthode de Morley, un élément non conforme classique, contourne cette exigence en imposant la continuité uniquement aux nœuds et la continuité des dérivées normales aux milieux des arêtes. Cependant, les fonctions discrètes de Morley ne sont pas dans l'espace de Sobolev $H^1(\Omega)$, ce qui pose des défis pour l'analyse d'erreur, en particulier pour les problèmes comportant des termes d'ordre deux.

Les auteurs traitent deux problèmes spécifiques :

1. L'équation biharmonique singulièrement perturbée :
   $$\varepsilon^2 \Delta^2 u - \Delta u = f$$
   où $0 < \varepsilon \ll 1$. Ce problème présente des couches limites lorsque $\varepsilon$ est petit.
2. Les équations non linéaires de von Kármán :
   Un système couplé décrivant la déformation de plaques minces, impliquant un crochet de von Kármán non linéaire $[\cdot, \cdot]$.

Le défi principal réside dans l'application de la méthode de Morley modifiée proposée par Wang, Xu et Hu (2006), où un opérateur d'interpolation nodale est utilisé pour traiter les termes d'ordre deux (ou non linéaires). L'objectif est de développer des estimateurs d'erreur a posteriori fiables et efficaces pour ces schémas, permettant un raffinement de maillage adaptatif.

2. Méthodologie

Les auteurs adoptent une approche rigoureuse basée sur l'analyse variationnelle et les techniques d'estimation d'erreur résiduelle.

A. Discretisation Modifiée

Pour le terme d'ordre deux (gradient) dans l'équation perturbée et le terme non linéaire dans les équations de von Kármán, les auteurs utilisent l'opérateur d'interpolation nodale $I_h$ (vers des éléments $P_1$ continus) appliqué aux fonctions de Morley $u_h$.

• Forme faible discrète : $a_{\varepsilon,h}(u_h, v_h) = \varepsilon^2 \int D^2_{pw} u_h : D^2_{pw} v_h + \int \nabla I_h u_h \cdot \nabla I_h v_h$.
• Cette modification rend le terme d'ordre deux calculable et stable, mais introduit une erreur d'interpolation supplémentaire à contrôler.

B. Construction de l'Estimateur d'Erreur

L'estimateur global $\eta$ est construit comme la somme de plusieurs contributions locales par élément $T$ :

1. Terme de non-conformité ($\mu_{NC}$) : Mesure les sauts des dérivées normales à travers les faces.
2. Terme d'interpolation ($\mu_{Ih}$) : Mesure l'erreur $\|\nabla(u_h - I_h u_h)\|$, spécifique à la modification de la méthode.
3. Terme de résidu ($\eta_f$) : Dépend de la donnée $f$ et du paramètre de perturbation $\varepsilon$.
4. Termes de saut de flux ($\eta_1, \eta_2$) : Sautes des dérivées secondes et des gradients interpolés sur les faces.

Des opérateurs d'enrichissement ($J$) et de quasi-interpolation ($I_{qi}$) sont utilisés pour reconstruire des fonctions conformes à partir des solutions non conformes, permettant de décomposer l'erreur.

C. Preuves de Fiabilité et d'Efficacité

• Fiabilité (Reliability) : L'erreur est majorée par l'estimateur (à des termes d'ordre supérieur près). La preuve repose sur une décomposition de l'erreur et l'utilisation d'inégalités de trace multiplicatives adaptées au paramètre $\varepsilon$. Une difficulté majeure est la dépendance au rapport $h/\varepsilon$ ; les auteurs modifient l'opérateur de lissage pour garantir que l'estimateur reste efficace même lorsque $\varepsilon \ll h$.
• Efficacité (Efficiency) : L'estimateur est minoré par l'erreur (plus un terme d'oscillation). Cela est démontré en utilisant des fonctions "bulle" (volume et arête) adaptées à la perturbation singulière.

3. Contributions Clés

1. Extension aux problèmes d'ordre 4 avec termes d'ordre 2 : Contrairement aux travaux antérieurs qui se concentraient sur le terme biharmonique pur, ce papier traite la combinaison $\Delta^2$ et $\Delta$ (ou termes non linéaires) avec la méthode de Morley modifiée.
2. Traitement de la singularité perturbative : L'estimateur proposé est robuste par rapport au paramètre $\varepsilon$. Il capture correctement le comportement de la solution dans les couches limites, là où les estimateurs classiques échouent ou nécessitent une régularité excessive de la solution exacte.
3. Analyse des équations de von Kármán : C'est la première dérivation d'estimateurs d'erreur a posteriori fiables et efficaces pour les équations de von Kármán utilisant la méthode de Morley modifiée. Les auteurs résolvent le problème de la non-linéarité en intégrant l'opérateur d'interpolation nodale dans le terme non linéaire, préservant ainsi la structure nécessaire à l'analyse.
4. Nouvel opérateur de lissage : Pour la preuve de fiabilité, les auteurs introduisent un opérateur de lissage modifié ($\hat{\Pi}_C$) qui utilise les valeurs nodales de l'interpolé $I_h u_h$ plutôt que des moyennes simples, assurant ainsi l'efficacité de la borne pour les fonctions discontinues.

4. Résultats Numériques

Les auteurs valident leurs théories par des expériences numériques sur deux types de domaines (convexes et non convexes) et pour différents régimes de $\varepsilon$.

• Équation biharmonique perturbée :

  • Pour $\varepsilon = 1$, la convergence est optimale sous raffinement uniforme et adaptatif.
  • Pour $\varepsilon = 10^{-2}$ (couches limites), le raffinement uniforme montre des taux de convergence sous-optimaux. En revanche, l'algorithme adaptatif (basé sur l'estimateur $\eta$ et le marquage de Dörfler) capture les couches limites et rétablit la convergence optimale presque immédiatement.
  • Les expériences montrent que l'estimateur détecte correctement la transition entre le régime dominé par $\varepsilon$ et le régime dominé par le maillage.

• Équations de von Kármán :

  • Sur un domaine convexe (solution régulière), convergence optimale observée.
  • Sur un domaine non convexe (singularité de coin), le raffinement uniforme est sous-optimal. Le raffinement adaptatif, guidé par l'estimateur, résout la singularité et atteint la convergence optimale.
  • Les contributions individuelles de l'estimateur ($\eta_1, \eta_2, \mu_{NC}$, etc.) sont analysées et montrent qu'elles se comportent comme prévu théoriquement.

5. Signification et Impact

Ce travail est significatif car il comble un vide théorique important dans l'analyse des méthodes d'éléments finis non conformes pour des problèmes d'ordre supérieur complexes.

• Il valide l'utilisation pratique de la méthode de Morley modifiée pour des problèmes de physique appliquée (plaques, coques) où les termes d'ordre deux ou la non-linéarité sont prépondérants.
• Il fournit un cadre robuste pour le raffinement de maillage adaptatif dans des situations difficiles (couches limites, singularités géométriques, non-linéarités), garantissant que le calcul numérique est efficace et précis sans sur-raffinement inutile.
• Les résultats ouvrent la voie à des simulations plus précises de structures minces et de problèmes de contrôle optimal impliquant de telles équations.

En résumé, l'article établit une théorie solide pour l'erreur a posteriori d'une variante populaire de la méthode de Morley, prouvant sa fiabilité et son efficacité dans des régimes singuliers et non linéaires, et démontre son efficacité pratique via des simulations numériques convaincantes.