Topology of the Vakil--Zinger moduli space

1. Problématique et Contexte

L'article s'intéresse à la topologie rationnelle de l'espace de modules des applications stables de genre 1, noté $\overline{\mathcal{M}}_{1,n}(\mathbb{P}^r, d)$, qui paramètre les applications de degré $d$ depuis des courbes de genre 1 marquées vers l'espace projectif $\mathbb{P}^r$.

• Le problème de la réductibilité : L'espace compactifié $\overline{\mathcal{M}}_{1,n}(\mathbb{P}^r, d)$ est généralement réductible. Sa composante principale, $\overline{\mathcal{M}}_{1,n}^{main}(\mathbb{P}^r, d)$, est singulière et difficile à manipuler en raison de la présence de strates où la sous-courbe de genre 1 (le "cœur") est contractée, créant des dimensions excessives.
• La résolution de Vakil-Zinger : En 2008, Vakil et Zinger ont construit une désingularisation $\widetilde{\mathcal{M}}_{1,n}(\mathbb{P}^r, d)$ de cette composante principale. Cet espace est un champ de Deligne-Mumford lisse et propre.
• L'objectif : L'objectif de Song est de déterminer explicitement l'homologie rationnelle $H_*(\widetilde{\mathcal{M}}_{1,n}(\mathbb{P}^r, d))$ en fournissant un ensemble de générateurs et de relations, et d'analyser la structure de ses groupes de cohomologie (notamment la vanishing de la cohomologie impaire et les conjectures de Hodge et Tate).

2. Méthodologie

L'auteur utilise une approche combinatoire et topologique basée sur la stratification par les graphes duaux centrés et l'analyse des filtrations de poids en homologie de Borel-Moore.

• Stratification par alignement central : L'espace $\widetilde{\mathcal{M}}_{1,n}(\mathbb{P}^r, d)$ est stratifié par des graphes duaux $(1, n, d)$ "centralement alignés" (introduits par Ranganathan–Santos-Parker–Wise). Ces graphes incluent des données de niveaux (alignement) pour les composantes de genre zéro attachées au cœur de genre 1, en particulier lorsque le degré total du cœur est nul.
• Séquence spectrale de stratification : L'homologie est calculée via la séquence spectrale associée à la filtration par la dimension des strates.
  $$E_1^{p,q} = \bigoplus_{\dim \widetilde{\mathcal{M}}_{[G,\rho]}=p} H_{p+q}^{BM}(\widetilde{\mathcal{M}}_{[G,\rho]}) \Rightarrow H_{p+q}(\widetilde{\mathcal{M}}_{1,n}(\mathbb{P}^r, d))$$
• Filtration de poids et homologie de Borel-Moore : L'auteur exploite le fait que $\widetilde{\mathcal{M}}_{1,n}(\mathbb{P}^r, d)$ est lisse et propre, ce qui implique que son homologie est pure de poids. Il tronque la séquence spectrale pour isoler les composantes de poids pur et les composantes de poids "off-by-one" (poids $-k+1$ pour l'homologie en degré $k$).
  • Les générateurs proviennent des composantes de poids pur des strates.
  • Les relations proviennent des composantes de poids "off-by-one" et des différentielles de la séquence spectrale.
• Décomposition de Künneth : Les strates sont décrites comme des produits fibrés impliquant :
  1. Des strates de courbes de genre 1 alignées centralement ($\mathcal{M}_{1,n}^{cen}$).
  2. Des applications de genre zéro satisfaisant une propriété de factorisation (liée à des dépendances linéaires sur les vecteurs tangents).
  3. Des applications stables de genre zéro.
     Cela permet de déduire l'homologie des strates via des formules de Künneth.

3. Contributions Clés et Résultats Principaux

A. Générateurs de l'homologie (Théorème A)

L'homologie rationnelle $H_*(\widetilde{\mathcal{M}}_{1,n}(\mathbb{P}^r, d))$ est additivement générée par les classes de pushforward provenant des fermetures des strates $\widetilde{\mathcal{M}}_{[G,\rho]}$. Ces classes sont construites à partir de :

1. Pullbacks de l'homologie de $\mathcal{M}_{1,m}$ (pour $m \le n+d$).
2. Classes tautologiques : la polarisation relative $\Theta$ du fibré de Picard et la classe hyperplane $H_{\hat{Q}}$ du fibré projectif associé aux systèmes linéaires.
3. Classes $\psi$ provenant des sommets univalents ou bivalents des graphes de genre zéro.
4. Classes provenant des "queues rationnelles" (strates de genre zéro).

B. Relations entre générateurs (Théorème B)

Les relations sont multiplicativement générées par deux types de sources :

1. Relations tautologiques : Pullbacks des relations de WDVV et de Getzler provenant de l'espace des courbes $\mathcal{M}_{1,n}^{cen}$, ainsi que des relations entre les classes $\psi$ dues à l'alignement central.
2. Relations de points de base (Basepoint relations) : Ces relations nouvelles sont spécifiques aux applications avec points de base. Elles sont obtenues en considérant l'application de paires qui contracte les queues rationnelles vers des points de base sur le cœur de genre 1. Ces relations apparaissent en codimension homologique $\ge 2r$.

C. Conséquences Théoriques

• Conjectures de Hodge et Tate (Corollaire D) : L'auteur démontre que les conjectures de Hodge et de Tate sont vraies pour $\widetilde{\mathcal{M}}_{1,n}(\mathbb{P}^r, d)$. L'homologie paire est engendrée par des cycles algébriques (classes tautologiques et strates de bord).
• Vanishing de la cohomologie impaire (Corollaire E) : Pour tout $k < 11$ impair, $H^k(\widetilde{\mathcal{M}}_{1,n}(\mathbb{P}^r, d)) = 0$. Ce résultat redémontre et généralise celui de Fontanari (2007). La première cohomologie impaire non nulle apparaît à partir du degré 11 (liée aux formes modulaires de poids 12 via l'isomorphisme d'Eichler-Shimura).
• Groupe de Picard rationnel (Corollaire F) : Le groupe de Picard rationnel $A^1(\widetilde{\mathcal{M}}_{1,n}(\mathbb{P}^r, d))_{\mathbb{Q}}$ est isomorphe à $H^2(\widetilde{\mathcal{M}}_{1,n}(\mathbb{P}^r, d))$. Une base est donnée par $\Theta$, $H_{\hat{Q}}$ et les diviseurs de bord.
• Structure de Hodge : Les structures de Hodge impaires présentes dans l'homologie sont des produits de la structure de Tate $L$ et des structures $S_{k+1}$ correspondant aux formes cuspales de $SL_2(\mathbb{Z})$.

4. Signification et Impact

• Contrôle par la théorie de Gromov-Witten : L'article établit que l'homologie paire de l'espace désingularisé est entièrement contrôlée par les nombres d'intersection des cycles tautologiques, c'est-à-dire par la théorie de Gromov-Witten réduite de genre 1.
• Extension des techniques de $\mathcal{M}_{g,n}$ : Le travail étend les méthodes développées par Petersen et d'autres pour les espaces de modules de courbes stables ($\mathcal{M}_{g,n}$) au contexte plus complexe des espaces d'applications stables, où les strates sont des produits fibrés non triviaux.
• Nouvelle compréhension des relations : L'introduction des "relations de points de base" comble un vide dans la compréhension des relations en homologie pour les espaces de modules d'applications, au-delà des relations purement géométriques des courbes sous-jacentes.
• Applications futures : Les techniques développées sont prometteuses pour l'étude de l'homologie des espaces d'applications stables de genre 2 (travaux de Battistella-Carocci) et des quotients stables de genre 1.

En résumé, cet article fournit une description complète et constructive de la topologie rationnelle de l'espace de Vakil-Zinger, reliant la géométrie des applications stables à la théorie des formes modulaires et aux conjectures arithmétiques fondamentales.