A zero-one law for improvements to Dirichlet's theorem in arbitrary dimension

1. Problématique et Contexte

L'article s'inscrit dans le domaine de la théorie des nombres, plus précisément dans l'étude des approximations diophantiennes uniformes et de la théorie ergodique sur les espaces homogènes.

• Théorème de Dirichlet Généralisé : Pour toute matrice réelle $A \in M_{m,n}(\mathbb{R})$ et tout $t > 1$, il existe des vecteurs entiers $p \in \mathbb{Z}^m$ et $q \in \mathbb{Z}^n \setminus \{0\}$ tels que :
  $$\|Aq - p\|_\infty \le \frac{1}{t} \quad \text{et} \quad \|q\|_\infty < t$$
  où $\|\cdot\|_\infty$ est la norme supremum.
• Question d'amélioration : Peut-on remplacer la fonction $1/t$ par une fonction de décroissance plus rapide $\psi(t)$ (où $\psi(t) \to 0$) tout en conservant l'existence de solutions pour tout $t$ suffisamment grand ?
• Ensemble $\psi$-Dirichlet : On note $DI_{\alpha,\beta}(\psi)$ l'ensemble des matrices $A$ (avec des poids $\alpha, \beta$) pour lesquelles le système d'inégalités pondérées est soluble pour tout $t$ grand.
• Objectif : Déterminer la mesure de Lebesgue de cet ensemble. La question centrale est l'existence d'une loi 0-1 : la mesure est-elle soit 0, soit 1, selon une condition de convergence/divergence sur la série associée à $\psi$ ?

État de l'art :
Dans un travail précédent ([KSY22]), une loi 0-1 partielle a été établie pour les dimensions arbitraires. Cependant, ce résultat nécessitait deux conditions techniques restrictives sur la fonction $\psi$ :

1. La fonction $t \mapsto t\psi(t)$ doit être croissante.
2. Une condition technique de régularité sur la série (condition (1.8) dans le papier) impliquant un $\liminf$ spécifique pour garantir la divergence.

L'objectif de cet article est de supprimer la condition (1.8) et d'affaiblir l'hypothèse de monotonie stricte de $t\psi(t)$.

2. Méthodologie

La preuve repose sur une approche dynamique classique, reliant les problèmes d'approximation diophantienne à la dynamique des flots sur l'espace des réseaux unimodulaires.

A. Correspondance de Dani

Les auteurs utilisent la correspondance de Dani pour traduire le problème d'approximation en un problème de cible rétrécissante (shrinking target problem) sur l'espace homogène $X_d = SL_d(\mathbb{R}) / SL_d(\mathbb{Z})$ (où $d=m+n$).

• L'ensemble des matrices $\psi$-Dirichlet correspond à l'ensemble des points dont les orbites sous un flot diagonal $g_s$ visitent infiniment souvent une cible rétrécissante $\Delta^{-1}[0, r(s)]$.
• La fonction $r(s)$ est liée à $\psi(t)$ par une relation explicite.

B. Estimation de Mesure et Nouveaux Cibles

Pour contourner la condition technique (1.8) de [KSY22], les auteurs introduisent une modification subtile mais cruciale des cibles :

• Au lieu d'utiliser directement les ensembles de niveau $\Delta^{-1}[0, r]$, ils définissent des sous-ensembles $\Delta'_r = \Delta^{-1}[0, r] \cap H(R_r)$, où $H(R_r)$ impose que le vecteur non nul le plus court du réseau se trouve dans une région rectangulaire spécifique $R_r$.
• Théorème 2.2 : Ils prouvent que la mesure de ces nouveaux ensembles $\Delta'_r$ est asymptotiquement équivalente à celle des ensembles originaux. Cela permet de travailler avec des cibles ayant des propriétés géométriques plus fortes.

C. Estimation de Mélange et Disjointness

La partie la plus novatrice réside dans l'analyse des événements de hitting (atteinte des cibles) :

• Mélange double effectif : Ils utilisent des théorèmes de mélange double (double mixing) pour le flot diagonal $g_s$ agissant sur l'espace des réseaux, avec des bornes d'erreur explicites dépendant de la régularité des fonctions test.
• Lemme de Disjointness (Proposition 4.4) : C'est le cœur de la nouvelle contribution. Ils prouvent que pour un certain intervalle d'indices entiers (défini par $J \approx \frac{1}{4} \log(1/r)$), les images des cibles rétrécies par le flot, $g_k \tilde{\Delta}'_r$, sont pairwise disjointes (mutuellement disjointes).
  • Cette propriété de disjointness permet d'éviter la condition technique (1.8) qui était nécessaire dans [KSY22] pour contrôler les corrélations entre les événements d'atteinte. Elle permet de montrer que les événements sont suffisamment indépendants pour appliquer un lemme de Borel-Cantelli divergent.

D. Approximation par Fonctions Lisses

Pour appliquer les théorèmes de mélange, les ensembles caractéristiques des cibles sont approchés par des fonctions lisses ($C^\infty_c$) avec des contrôles précis sur leurs normes $C^\ell$.

3. Résultats Principaux

Le théorème principal (Théorème 3) établit une loi 0-1 complète pour la mesure de Lebesgue de l'ensemble $DI_{\alpha,\beta}(\psi)$.

Hypothèses sur $\psi$ :

• $\psi$ est continue, décroissante, et $\psi(t) < 1/t$.
• Une condition de "quasi-décroissance" plus faible que la monotonie stricte de $t\psi(t)$ : il existe $C_\psi \ge 1$ et $\eta \in (0,1)$ tels que pour $t_1 \le t_2 \le t_1 (\log t_1)^\eta$, on a $F_\psi(t_2) \le C_\psi F_\psi(t_1)$, où $F_\psi(t) = 1 - t\psi(t)$.

Conclusion :
La mesure de Lebesgue de $DI_{\alpha,\beta}(\psi)$ est :

• 1 (pleine mesure) si la série suivante converge :
  $$\sum_{k} k^{-1} F_\psi(k)^{\kappa_d} \log^{\lambda_d}\left(1 + \frac{1}{F_\psi(k)}\right) < \infty$$
• 0 (mesure nulle) si la série diverge :
  $$\sum_{k} k^{-1} F_\psi(k)^{\kappa_d} \log^{\lambda_d}\left(1 + \frac{1}{F_\psi(k)}\right) = \infty$$

Où $\kappa_d = \frac{d^2+d-4}{2}$ et $\lambda_d = \frac{d(d-1)}{2}$.

Cas particuliers :

• Ce résultat généralise le travail de Kleinbock et Wadleigh (cas $m=n=1$) aux dimensions arbitraires.
• Il étend le théorème partiel de [KSY22] en supprimant la condition technique (1.8) et en affaiblissant l'hypothèse de monotonie.

4. Contributions Clés et Innovation

1. Suppression de la condition technique (1.8) : L'article résout un problème ouvert en démontrant que la loi 0-1 tient sans la condition de régularité asymptotique complexe requise précédemment pour le cas de divergence.
2. Construction de cibles disjointes : L'introduction des ensembles $\Delta'_r$ et la preuve de leur disjointness sous l'action du flot diagonal (Proposition 4.4) constituent l'ingrédient technique majeur. Cela permet de contourner les difficultés de corrélation entre les événements d'atteinte successifs.
3. Affaiblissement des hypothèses de monotonie : La condition (1.9) permet de traiter des fonctions $\psi$ pour lesquelles $t\psi(t)$ n'est pas strictement croissante, élargissant ainsi la classe de fonctions admissibles.
4. Généralité : La méthode s'applique également au problème pondéré (weighted problem) avec des quasi-normes associées à des vecteurs de poids $\alpha$ et $\beta$.

5. Signification

Ce travail représente une avancée significative dans la compréhension métrique des approximations diophantiennes uniformes en dimensions supérieures. En éliminant les hypothèses techniques artificielles, il établit une loi 0-1 robuste et naturelle, reliant directement la mesure de l'ensemble des matrices approximables à la convergence d'une série simple.

La méthode développée, combinant l'analyse fine des cibles rétrécies dans l'espace des réseaux avec des estimations de mélange effectif et des propriétés de disjointness géométrique, offre un nouveau paradigme pour aborder les problèmes de cibles rétrécissantes dans les systèmes dynamiques homogènes, avec des applications potentielles au-delà de la théorie des nombres classique.