Strong convergence of finite element schemes for the stochastic Landau--Lifshitz--Bloch equation

1. Problématique et Contexte

L'article traite de la dynamique de l'aimantation dans un ferromagnétique borné à des températures élevées (au-dessus de la température de Curie). À ces températures, les fluctuations thermiques deviennent significatives et les transitions entre états d'équilibre sont induites par le bruit. Pour modéliser ce phénomène, l'auteur utilise l'équation de Landau-Lifshitz-Bloch stochastique (sLLB), une équation aux dérivées partielles stochastiques (EDPS) quasi-linéaire à valeurs vectorielles.

L'équation (1.1) est donnée par :
$$du = \left( \kappa_1\Delta u + \gamma u \times \Delta u - \kappa_2(1 + \mu |u|^2)u \right) dt + (\kappa_1 g + \gamma u \times g) \circ dW$$
où $u$ est le champ d'aimantation, $W$ est un processus de Wiener, et les termes non linéaires (produit vectoriel et terme de Landau-Lifshitz) posent des défis analytiques majeurs car ils ne sont ni globalement Lipschitz ni monotones.

L'objectif principal est d'établir la convergence forte (dans $L^2(\Omega)$) de schémas numériques aux éléments finis pour cette équation, avec des taux de convergence explicites, dépassant les résultats antérieurs qui ne garantissaient souvent qu'une convergence en probabilité ou une convergence forte sur un temps d'arrêt discret.

2. Méthodologie

L'approche méthodologique repose sur plusieurs piliers techniques :

• Analyse de régularité et bornes exponentielles : L'auteur établit d'abord de nouvelles bornes sur les moments exponentiels de la solution exacte (Théorème 3.5). Ces bornes sont cruciales pour contrôler la croissance de la solution et dériver des estimations d'erreur globales.
• Technique de localisation : Pour gérer les non-linéarités non monotones, l'auteur utilise une technique de localisation. L'espace d'échantillonnage est restreint à un ensemble $\Omega_{\kappa, m}$ où la norme $H^1$ de la solution exacte est bornée par une constante $\kappa$. Cela permet d'obtenir des estimations d'erreur sur un grand espace d'échantillonnage.
• Schémas numériques :
  • Cas $d=1$ (Dimension 1) : Analyse d'un schéma semi-implicite existant et proposition d'un nouveau schéma entièrement implicite. Ce schéma implicite permet une meilleure stabilité et une convergence dans une norme plus forte ($H^1$).
  • Cas $d=2$ (Dimension 2) : Analyse d'un schéma semi-implicite appliqué à une version régularisée de l'équation (sLLB régularisée, équation 1.2) utilisant des éléments finis $C^1$ conformes (éléments de Hsieh-Clough-Tocher ou Zienkiewicz).
• Estimations d'erreur : La décomposition de l'erreur est effectuée en séparant l'erreur d'interpolation et l'erreur de discrétisation. Les preuves utilisent des inégalités de Young, de Hölder, les embeddings de Sobolev, et le lemme de Gronwall discret.

3. Contributions Clés et Résultats Principaux

A. Résultats Analytiques

• Bornes de moments exponentiels (Théorème 3.5) : L'article dérive de nouvelles bornes pour les moments exponentiels de la solution exacte en norme $L^2$ et $H^1$.
• Stabilité et Mesure Invariante : Ces bornes impliquent la stabilité exponentielle au sens des moindres carrés et l'unicité de la mesure invariante pour le cas $d=1$ sous une hypothèse de bruit faible (Corollaire 3.7).

B. Convergence des Schémas Numériques

L'article améliore significativement les résultats de la littérature précédente (notamment [14]) :

1. Schéma Semi-Implicite ($d=1$ et $d=2$) :

   • Convergence en probabilité : Des taux de convergence plus précis sont établis. Pour $d=1$, le taux est $O(h + k^{1/2-\delta})$ en norme $L^2$ et $O(h + k^{1/2-\delta})$ en norme $H^1$. Pour $d=2$ (version régularisée), le taux est $O(h^2 + k^{1/2-\delta})$.
   • Convergence forte : La convergence forte dans $L^2(\Omega)$ est prouvée sur tout l'espace d'échantillonnage, avec des taux explicites (Théorèmes 4.5 et 5.5). Bien que suboptimaux, ces taux sont de la forme $C \exp(-\gamma \sqrt{\log(1/(h^2+k^\alpha))})$, ce qui est une amélioration par rapport aux résultats antérieurs limités à des temps d'arrêt.

2. Nouveau Schéma Implicite ($d=1$) :

   • L'auteur propose un schéma implicite qui traite le terme non linéaire de manière implicite.
   • Optimalité : Ce schéma atteint un taux de convergence optimal en probabilité en norme $H^1$ : $O(h + k^{1/2-\delta})$.
   • Convergence forte : La convergence forte en norme $H^1$ est également établie (Théorème 6.7), bien que le taux soit légèrement plus faible (logarithmique) en raison de la dépendance de l'ensemble de localisation par rapport à la solution numérique.

C. Expériences Numériques

Des simulations sont réalisées sous l'environnement FEniCS pour valider les résultats théoriques :

• Simulation 1 ($d=1$, schéma implicite) : Confirme les taux de convergence théoriques, montrant une convergence d'ordre 1 en espace et 1/2 en temps en norme $H^1$.
• Simulation 2 ($d=2$, schéma semi-implicite) : Bien que l'analyse théorique rigoureuse pour $d=2$ porte sur la version régularisée, les simulations montrent que le comportement de convergence attendu est observé numériquement.
• Simulation 3 (Stabilité) : Valide la stabilité exponentielle pour un bruit faible. Les trajectoires de deux solutions avec des conditions initiales proches convergent exponentiellement vers zéro, confirmant la Proposition 3.6. Pour un bruit fort, cette stabilité est perdue, ce qui est cohérent avec les hypothèses théoriques.

4. Signification et Impact

Ce travail est significatif pour plusieurs raisons :

• Rigueur mathématique : Il comble un vide dans la littérature en fournissant des preuves de convergence forte pour des schémas aux éléments finis appliqués à l'équation sLLB, un problème non linéaire et non monotone complexe.
• Amélioration des taux : Il affine les taux de convergence en probabilité et étend la convergence forte à l'ensemble de l'espace probabiliste, dépassant les limitations des schémas précédents basés sur des temps d'arrêt.
• Nouveaux résultats analytiques : Les bornes de moments exponentiels pour la solution exacte sont des résultats indépendants intéressants qui ouvrent la voie à de futures études sur la stabilité et l'ergodicité de ces systèmes stochastiques.
• Validation pratique : La présentation d'expériences numériques solides renforce la crédibilité des résultats théoriques et guide les praticiens dans le choix des schémas numériques pour la simulation de la micromagnétique à haute température.

En résumé, l'article fournit une analyse complète, allant de l'existence et la stabilité des solutions continues à la convergence rigoureuse de leurs approximations numériques, offrant ainsi un cadre robuste pour la simulation numérique de la dynamique de l'aimantation à haute température.