Application of uncertainty principles for decaying densities to the observability of the Schrödinger equation

1. Problématique et Contexte

L'article s'intéresse à l'observabilité de l'équation de Schrödinger libre dans l'espace euclidien $\mathbb{R}^d$ ($d \ge 1$) :
$$i\partial_t u + \Delta u = 0, \quad u(0, \cdot) = u_0 \in L^2(\mathbb{R}^d).$$
L'objectif est de déterminer des conditions suffisantes sur un ensemble de mesure $O \subset \mathbb{R}^d$ (l'ensemble d'observation) telles que l'on puisse reconstruire la norme $L^2$ de la donnée initiale $u_0$ à partir de la mesure de la solution sur $O$ durant un temps $T$.

Deux notions d'observabilité sont considérées :

1. Observabilité en temps continu : Estimation de $\|u_0\|_{L^2}$ via $\int_0^T \int_O |u(t,x)|^2 dx dt$.
2. Observabilité à deux instants : Estimation de $\|u_0\|_{L^2}$ via $\int_{O_1} |u(T,x)|^2 dx + \int_{O_2} |u(S,x)|^2 dx$.

Le défi principal réside dans le fait que les résultats classiques d'observabilité (comme la condition de contrôle géométrique GCC ou la propriété d'épaisseur constante) sont souvent trop restrictifs ou ne s'appliquent pas directement à des ensembles dont la "densité" de mesure décroît à l'infini. Les auteurs cherchent à généraliser ces résultats en introduisant des densités décroissantes.

2. Méthodologie

La preuve repose sur une combinaison ingénieuse de trois piliers mathématiques :

A. Principes d'incertitude quantitatifs pour des densités décroissantes

L'outil central est un principe d'incertitude quantitatif dû à Kovrijkine (inspiré par Shubin, Vakilian et Wolff). Ce principe établit une inégalité de type "spectrale" reliant la norme d'une fonction et celle de sa transformée de Fourier sur des ensembles spécifiques.
Les auteurs adaptent ce principe à des densités $\rho(x)$ qui décroissent à l'infini (par exemple $\rho(x) \sim |x|^{-\alpha}$). Ils utilisent le théorème de Kovrijkine pour montrer que si un ensemble est "épais" par rapport à une telle densité, il ne peut pas "cacher" l'énergie d'une fonction et de sa transformée de Fourier simultanément.

B. Estimations de résolvantes (Resolvent Estimates)

Pour traiter l'observabilité en temps continu, les auteurs dérivent des estimations de résolvantes pour l'opérateur $-\Delta - \lambda$.

• Ils divisent le spectre en deux parties : les basses fréquences (où l'on utilise des estimations spectrales classiques ou des résultats sur l'équation de la chaleur) et les hautes fréquences.
• Pour les hautes fréquences, ils exploitent le principe d'incertitude pour obtenir une inégalité de la forme :
  $$\|f\|_{L^2}^2 \le M(\lambda) \|(-\Delta - \lambda)f\|_{L^2}^2 + m \|f\|_{L^2(O)}^2$$
  où $M(\lambda)$ est une fonction décroissante tendant vers 0 lorsque $\lambda \to \infty$ (dans le cas $\alpha > 1$).

C. Résultats abstraits d'observabilité

Les auteurs utilisent des théorèmes abstraits (dus à Miller, et récemment à Su, Sun, Yuan) qui établissent un lien entre les estimations de résolvantes et l'observabilité de l'équation de Schrödinger.

• Si l'estimation de résolvante est uniforme en $\lambda$, on obtient l'observabilité pour un temps $T$ suffisamment grand.
• Si l'estimation de résolvante s'améliore avec $\lambda$ (décroissance de $M(\lambda)$), on obtient l'observabilité pour tout temps $T > 0$, avec une constante de contrôle qui explose exponentiellement en $1/T^2$.

3. Résultats Principaux

Les auteurs établissent trois théorèmes majeurs basés sur la notion d'ensemble $(\gamma, \rho)$-épais. Un ensemble $O$ est $(\gamma, \rho)$-épais si, pour tout $x \in \mathbb{R}^d$, la mesure de l'intersection de $O$ avec la boule $B(x, \rho(x))$ est au moins $\gamma$ fois la mesure de la boule.

Théorème 1.3 (Temps grand, décroissance lente)

Si la densité de décroissance est $\rho(x) = O(|x|^{-1})$ (c'est-à-dire $\alpha = 1$), alors il existe un temps $T_0 > 0$ tel que l'équation est observable pour tout $T \ge T_0$.

• Signification : Une décroissance de type $1/|x|$ suffit pour garantir l'observabilité, mais seulement après un temps d'observation suffisamment long.

Théorème 1.4 (Temps arbitraire, décroissance rapide)

Si la densité décroît plus vite, c'est-à-dire $\rho(x) = O(|x|^{-\alpha})$ avec $\alpha > 1$, alors l'équation est observable pour tout temps $T > 0$.

• Estimation : La constante d'observabilité est de la forme $C e^{C/T^2}$.
• Signification : C'est le résultat le plus fort : une décroissance plus rapide de la densité requise permet une observation instantanée (pour tout $T>0$), bien que le coût de contrôle devienne très élevé lorsque $T \to 0$.

Théorème 1.5 (Observabilité à deux instants)

Pour l'observabilité à deux temps $S$ et $T$, les auteurs montrent que si $O_1$ est épais par rapport à $\rho_\alpha(x) \sim |x|^{-\alpha}$ et $O_2$ par rapport à $\rho_{1/\alpha}(x) \sim |x|^{-1/\alpha}$, alors l'observabilité est garantie.

• Ce résultat est optimal dans le sens où si $\rho(x)$ décroît trop vite (plus vite que $|x|^{-1}$), l'observabilité à deux temps peut échouer pour certains ensembles épais.

4. Extensions et Généralisations

L'article ne se limite pas au cas libre et propose des extensions naturelles :

1. Équation de Schrödinger fractionnaire : Les résultats sont généralisés à l'équation $i\partial_t u - (-\Delta)^s u = 0$. La condition sur l'exposant de décroissance $\alpha$ devient $\alpha > \frac{1}{2s-1}$. Plus $s$ est grand (opérateur plus "fort"), plus la condition de densité peut être faible.
2. Potentiel borné : Les résultats sont étendus à l'équation avec un potentiel réel borné $V \in L^\infty(\mathbb{R}^d)$. La preuve nécessite des estimations spectrales adaptées pour l'opérateur $-\Delta + V$, utilisant des résultats récents de la littérature.

5. Signification et Contribution

• Nouveauté : C'est l'une des premières études à établir des conditions d'observabilité basées sur des densités de mesure décroissantes pour l'équation de Schrödinger en dimension $d \ge 1$. Cela permet de considérer des ensembles d'observation qui deviennent "rares" à l'infini, mais pas trop rapidement.
• Précision des conditions : Les auteurs montrent que la condition $\rho(x) \sim |x|^{-1}$ est une frontière critique. En dessous de cette décroissance (plus lent), on perd l'observabilité pour tout temps. Au-dessus (plus rapide), on gagne l'observabilité pour tout temps.
• Lien avec la littérature : Le travail complète les résultats existants (comme la condition GCC ou les ensembles périodiques) en fournissant une classe d'ensembles d'observation plus large et plus flexible, notamment pour des géométries non bornées ou non périodiques.
• Méthodologie : L'approche combinant les principes d'incertitude de Kovrijkine avec les techniques de résolvantes de Su-Sun-Yuan démontre une puissance méthodologique applicable à d'autres équations d'évolution (fractionnaires, avec potentiel).

En résumé, cet article fournit une caractérisation fine de la relation entre la géométrie de l'ensemble d'observation (via une densité de décroissance) et la capacité à contrôler ou observer l'équation de Schrödinger, établissant des seuils précis de décroissance nécessaires pour garantir l'observabilité.