Green representations and global Hölder continuity for solutions of elliptic equations

1. Problématique et Contexte

L'article s'intéresse à l'étude des solutions faibles d'équations elliptiques dégénérées et non uniformes de la forme :
$$Lu \equiv -\sum_{i,j=1}^N \frac{\partial}{\partial x_j} \left( b_{ij} \frac{\partial u}{\partial x_i} \right) = f$$
définies sur un domaine borné $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ ($N \ge 2$).

Les défis principaux abordés par l'auteur sont :

• Dégénérescence et singularité : Les coefficients $b_{ij}$ ne sont pas nécessairement uniformément elliptiques. Ils satisfont une condition de coercivité pondérée $b|\xi|^2 \le \sum b_{ij}\xi_i\xi_j \le \bar{b}|\xi|^2$, où $b$ et $\bar{b}$ sont des fonctions mesurables non négatives. Le terme $b$ peut s'annuler (dégénérescence) et $b^{-1}$ peut être singulier.
• Conditions aux limites mixtes : La solution $u$ peut s'annuler sur une partie $A$ du bord $\partial\Omega$ et être libre (condition de Neumann naturelle) sur le reste du bord.
• Régularité globale : L'objectif est d'établir la continuité Hölderienne globale des solutions et de leurs gradients, même lorsque les coefficients ne satisfont pas les conditions classiques (comme la classe $A_2$ de Muckenhoupt ou l'oscillation moyenne Dini).

2. Méthodologie

L'auteur développe une approche basée sur la construction de fonctions de Green et l'utilisation des potentiels de Riesz, en combinant plusieurs techniques avancées :

• Espaces fonctionnels adaptés : Introduction des espaces de Sobolev pondérés $W_{b,A}(\Omega)$ et $W_{B,A}(\Omega)$, définis comme les complétions de fonctions $C^1$ s'annulant sur $A$ par rapport aux normes associées aux poids $b$ et $B=\{b_{ij}\}$.
• Fonctions de Green et de Gradient : Construction de deux noyaux fondamentaux :
  • $G(x, y)$ : La fonction de Green permettant la représentation intégrale de la solution $u$.
  • $H_l(x, y)$ : Un noyau permettant la représentation intégrale du gradient $\frac{\partial u}{\partial x_l}$.
• Fonctions auxiliaires modifiées : Pour obtenir des bornes globales (et non locales), l'auteur adapte les techniques de Serrin en modifiant les fonctions auxiliaires utilisées dans la méthode de bootstrap. Il définit des fonctions $F_{s,l}$ et $G_{s,l}$ (pour $s > 1$) et $\theta_s$ (pour $s \in (1/2, 1]$) pour gérer les cas où les exposants d'intégrabilité sont critiques.
• Potentiels de Riesz : Utilisation des propriétés de régularité des potentiels de Riesz $I_{\Omega, \varrho}$ pour déduire la continuité Hölderienne à partir des estimations intégrales des solutions et de leurs gradients.
• Itération de Moser : Une procédure d'itération (type Moser) est employée pour établir la bornitude globale ($L^\infty$) des solutions à partir de données dans $L^1$ ou des espaces $L^p$ appropriés.

3. Contributions Clés et Résultats Principaux

L'article établit trois théorèmes majeurs sous des hypothèses spécifiques sur les paramètres $t, r$ et les coefficients :

A. Représentation par la Fonction de Green (Théorème 1)

Il existe une fonction $G(x, y)$ sur $\Omega \times \Omega$ telle que pour toute solution faible $u \in W_{B,A}(\Omega)$ avec $f \in L^1(\Omega)$ :
$$u(y) = \int_\Omega G(x, y)f(x)dx \quad \text{presque partout.}$$
Cette représentation est valable dans deux cas :

1. Pour $N \in \{2, \dots, 8\}$ sous certaines conditions techniques sur les coefficients.
2. Pour $N \ge 3$ si $A = \partial\Omega$, les poids sont constants et les coefficients $b_{ij}$ sont constants.
   De plus, $G$ satisfait des estimations de décroissance : $0 \le G(x, y) \le C|x-y|^{-N+2-\zeta}$.

B. Représentation du Gradient (Théorème 2)

Il existe des fonctions $H_l(x, y)$ pour chaque $l \in \{1, \dots, N\}$ telles que :
$$\frac{\partial u}{\partial x_l}(y) = -\int_\Omega H_l(x, y)f(x)dx \quad \text{presque partout.}$$
Ces noyaux permettent d'exprimer le gradient comme un potentiel de Riesz d'ordre $1-\zeta$.

C. Continuité Hölderienne Globale (Théorème 3)

En combinant les représentations précédentes avec les propriétés des potentiels de Riesz, l'auteur prouve la régularité globale :

• Cas 1 : Si $f \in L^{\frac{N}{2-s}}(\Omega)$ avec $s \in (0, 1)$, alors $u$ est Hölderienne sur $\bar{\Omega}$ ($|u(x)-u(y)| \le C|x-y|^\tau$).
• Cas 2 (Équations non linéaires/semi-linéaires) : Si $|f| \le a_2|\nabla u| + a_1|u| + a_0$ avec des conditions d'intégrabilité sur $a_i$ et $b^{-1}$, alors $u$ est globalement Hölderienne, même si l'équation est dégénérée.

4. Signification et Innovations

• Généralité des coefficients : Contrairement aux résultats classiques qui exigent souvent que les coefficients soient constants, continus, ou dans la classe $A_2$, ce travail fonctionne avec des coefficients mesurables qui peuvent être dégénérés (s'annuler) et singuliers (inverse non borné), à condition qu'ils satisfont des conditions d'intégrabilité spécifiques ($b^{-1} \in L^{t/(2-t)}$, etc.).
• Conditions aux limites flexibles : La théorie couvre des conditions de Dirichlet partielles (annulation sur un sous-ensemble $A$ du bord) et des conditions libres ailleurs, ce qui est crucial pour les problèmes physiques avec des interfaces partielles.
• Validité en basse dimension : Les résultats sont établis pour $N \in \{2, \dots, 8\}$, couvrant des dimensions où les techniques classiques de régularité peuvent échouer ou nécessiter des hypothèses plus fortes.
• Contre-exemples et limites : L'article inclut des remarques (6 et 7) montrant que les coefficients construits ne satisfont pas la condition $A_2$ ni la condition de Hölder, prouvant ainsi que la théorie développée va au-delà des cadres standards de la théorie de la régularité elliptique.

En résumé, cet article fournit un cadre robuste pour l'analyse de la régularité globale des solutions d'équations elliptiques dégénérées, en établissant des représentations intégrales explicites (Green et gradient) et en prouvant la continuité Hölderienne sans recourir à des hypothèses de régularité forte sur les coefficients.