A Closed-loop Framework to Discriminate Models Using Optimal Control

1. Problématique

La prédiction de l'évolution future d'un système observé repose souvent sur la sélection du modèle mathématique le plus adéquat parmi plusieurs candidats. Cependant, cette tâche est complexe car :

• Ambiguïté des données : Différents modèles (avec des niveaux de complexité et des mécanismes variés) peuvent souvent s'ajuster de manière équivalente aux données de mesure disponibles, surtout si ces données proviennent d'un sous-espace restreint de l'espace des phases du système.
• Limites des approches statiques : Les méthodes traditionnelles de sélection de modèles (critères d'information comme AIC/BIC, facteurs de Bayés) ou d'apprentissage automatique purement data-driven échouent souvent lorsque les données d'entraînement ne couvrent pas suffisamment les dynamiques du système pour distinguer les modèles.
• Besoin de discrimination active : Pour choisir le bon modèle, il est nécessaire de conduire le système vers des régions de l'espace des phases où les prédictions des modèles candidats divergent le plus, ce qui nécessite une conception active de l'expérience.

2. Méthodologie

Les auteurs proposent un cadre itératif en boucle fermée combinant l'ajustement de paramètres et le contrôle optimal pour discriminer dynamiquement entre des modèles.

A. Formulation du problème

Le système est modélisé par des équations différentielles :
$$\dot{X} = F(X, u(t); \Theta), \quad Y = H(X; \Theta)$$
où $u(t)$ est un signal de contrôle d'entrée (ex: intensité lumineuse), $X$ l'état, $Y$ la sortie observable, et $\Theta$ les paramètres.
L'objectif est de comparer deux modèles candidats ($k=1, 2$) en trouvant le signal de contrôle $u(t)$ qui maximise la différence entre leurs sorties $Y_1$ et $Y_2$.

B. Algorithme en boucle fermée

Le processus suit les étapes suivantes :

1. Ajustement de paramètres (Parameter Fitting) : À chaque itération, les paramètres $\Theta_k$ de chaque modèle sont ajustés pour minimiser l'erreur entre la sortie du modèle et les données observées du système de référence (référence réelle ou simulée). Une fonction de perte basée sur la distance euclidienne est minimisée via une descente de gradient (ex: Adam).
2. Conception de contrôle optimal (Optimal Control Design) : Une fois les paramètres ajustés, un problème d'optimisation est résolu pour trouver le signal de contrôle $u^*(t)$ qui maximise une fonction de performance $J$ :
   $$J(u) = \int_0^T \left( D(Y_1, Y_2) - C(u) \right) dt$$
   où $D$ mesure la divergence entre les modèles et $C(u)$ est un coût pénalisant les signaux irréalistes ou trop énergétiques. Une contrainte supplémentaire encourage la diversité des signaux par rapport aux itérations précédentes pour éviter de rester bloqué dans des profils similaires.
3. Expérimentation et itération : Le signal optimal $u^*(t)$ est injecté dans le système réel (ou simulé). Les nouvelles données sont collectées, et le cycle recommence (ajustement + conception de contrôle) jusqu'à ce qu'un critère d'arrêt soit atteint.

C. Critères d'arrêt

L'algorithme s'arrête lorsque :

• Les paramètres d'au moins un modèle ont convergé (variation inférieure à un seuil).
• L'erreur de prédiction de ce modèle est inférieure à une tolérance donnée.
• Si les deux modèles convergent, le principe du rasoir d'Occam est appliqué : le modèle le plus simple (le moins de paramètres) est sélectionné.

3. Contributions Clés

• Approche active de la sélection de modèles : Contrairement aux méthodes passives qui analysent des données existantes, cette méthode génère activement les données les plus discriminantes via le contrôle optimal.
• Boucle itérative adaptative : Le couplage entre l'ajustement des paramètres et la conception du contrôle permet d'explorer progressivement l'espace des phases, évitant les pièges de l'ajustement local.
• Validation sur un système biologique complexe : Application réussie à la dynamique des photocourants générés par des opsines (Channelrhodopsin-2), un problème où l'observabilité est limitée (une seule entrée, une seule sortie, nombreuses variables non observées).
• Implémentation temps réel : Développement d'une interface matériel-logiciel efficace (utilisant Julia pour le calcul et Symphony/Matlab pour l'acquisition) permettant d'exécuter l'algorithme en boucle fermée sur des cellules vivantes, malgré les contraintes de temps de vie cellulaire.

4. Résultats

A. Simulations Numériques

• Cas idéaux : Le cadre a été testé en simulant un système de référence (ex: modèle 3-états) et en essayant de discriminer entre ce modèle et un modèle plus complexe (4 ou 6 états).
  • Avec des signaux de contrôle standards (ex: signal en créneau), les modèles complexes surajustaient les données et la discrimination échouait.
  • Avec le contrôle optimal proposé, le signal généré a forcé le système à explorer des dynamiques où les modèles divergeaient, permettant d'identifier correctement le modèle de référence.
• Robustesse au bruit : L'algorithme a démontré sa capacité à sélectionner le bon modèle même lorsque les données de référence contenaient du bruit stochastique (modélisé par des équations différentielles stochastiques).

B. Expériences de Laboratoire (Électrophysiologie)

• Protocole : Des cellules GH3 exprimant la Channelrhodopsin-2 (ChR2) ont été soumises à un voltage clamp. Le signal de contrôle $u(t)$ était une tension commandant l'intensité d'une LED à 470 nm.
• Comparaison 6-états vs 4-états : Après 100 itérations, le modèle à 4 états a montré une erreur de prédiction décroissante et une convergence des paramètres, tandis que le modèle à 6 états restait instable. Le modèle à 4 états a été sélectionné comme étant le plus précis.
• Comparaison 3-états vs 4-états : Même résultat : le modèle à 4 états a mieux prédit la réponse expérimentale que le modèle à 3 états, qui ne parvenait pas à capturer la dynamique complète (notamment les transitions rapides).
• Conclusion expérimentale : Le modèle à 4 états (incluant une transition directe état fermé $\to$ état ouvert) a été identifié comme le meilleur prédicteur de la dynamique des photocourants, surpassant les modèles plus simples ou plus complexes.

5. Signification et Perspectives

• Validité pratique : L'article démontre qu'il est possible de discriminer des modèles biologiques complexes en temps réel sur des systèmes vivants, un défi majeur en biologie des systèmes.
• Efficacité des données : En optimisant l'information contenue dans chaque mesure, la méthode réduit le nombre d'expériences nécessaires et le temps d'acquisition, crucial pour les expériences où les échantillons biologiques sont fragiles.
• Généralité : Bien que testé sur l'optogénétique, le cadre est applicable à tout système contrôlable avec une sortie mesurable (ex: réseaux d'opinion, marchés financiers, autres systèmes physiologiques).
• Limites et futurs travaux :
  • La méthode dépend de l'ajustement initial des paramètres (risque de minima locaux).
  • L'extension à plus de deux modèles simultanés (au-delà du tournoi binaire) et l'intégration de cadres bayésiens pour gérer l'incertitude des paramètres sont des pistes de recherche futures.
  • L'approche pourrait être combinée avec des techniques d'apprentissage automatique symbolique (SINDy) pour découvrir les équations elles-mêmes, et non seulement leurs paramètres.

En résumé, ce travail propose une méthodologie puissante pour transformer la sélection de modèles d'un problème passif d'analyse de données en un processus actif d'exploration contrôlée, validé avec succès sur un système biologique réel.