Torsion cycles on Fermat varieties

1. Problématique et Contexte

L'article s'inscrit dans l'étude des cycles algébriques sur les variétés de Fermat, en particulier la question de la torsion de ces cycles dans les groupes de Chow et les jacobiennes intermédiaires.

• Théorème de Manin-Drinfeld : Un résultat classique stipule que tout diviseur de degré 0 supporté sur les pointes d'une courbe modulaire est de torsion dans la jacobienne de la courbe.
• Généralisation de Rohrlich (1977) : Rohrlich a étendu ce résultat aux courbes de Fermat $F_d$. Il a démontré que tout diviseur de degré 0 supporté sur l'ensemble des « points de Fermat » (solutions triviales de $X_0^d + X_1^d + X_2^d = 0$) est de torsion dans la jacobienne.
• Objectif de l'article : L'auteur vise à fournir une nouvelle preuve du théorème de Rohrlich en utilisant la théorie des structures de Hodge mixtes (à la manière d'Elkik), puis à généraliser cette approche aux cycles de codimension supérieure (cycles de Chow supérieurs) sur les hypersurfaces de Fermat de dimension $n$.

2. Méthodologie

L'approche centrale repose sur l'analyse des structures de Hodge mixtes (MHS) et des extensions dans la catégorie des MHS.

• Cadre théorique :
  • Utilisation de la théorie de Deligne sur les structures de Hodge mixtes.
  • Application du théorème de Carlson concernant les extensions séparées de structures de Hodge. Si $A$ et $B$ sont des MHS avec des poids strictement séparés (le poids maximal de $A$ est inférieur au poids minimal de $B$), alors $\text{Ext}^1_{\text{MHS}}(B, A)$ est isomorphe à un tore généralisé.
  • Le lien entre les cycles et les extensions : Un cycle nul-homologue $Z$ supporté sur un sous-ensemble $|D|$ définit une extension courte exacte :
    $$0 \to H^{2p-1}(X, \mathbb{Z}) \to E_Z \to \mathbb{Z}(-p) \to 0$$
    La classe de cette extension dans $\text{Ext}^1_{\text{MHS}}(\mathbb{Z}(-p), H^{2p-1}(X))$ correspond à l'image du cycle par l'application d'Abel-Jacobi (ou le régulateur).
• Stratégie de preuve :
  • Pour prouver qu'un cycle est de torsion, il suffit de montrer que la suite exacte de cohomologie associée se scinde (split) en tant que suite de structures de Hodge.
  • L'auteur exploite l'action du groupe de symétrie $G_d^n$ (quotient du groupe des racines $d$-ièmes de l'unité) sur les variétés de Fermat.
  • L'idée clé est de décomposer les groupes de cohomologie en sous-espaces propres sous l'action de $G_d^n$. En montrant que l'action sur la partie « intéressante » (les cycles) est triviale ou orthogonale à la cohomologie de la variété complète, on peut construire un projecteur qui scinde la suite exacte.

3. Résultats Principaux

L'article établit plusieurs théorèmes majeurs :

A. Preuve du théorème de Rohrlich et généralisation aux cycles de codimension supérieure

Théorème 3.1 : Soit $F_d^n$ une hypersurface de Fermat de dimension $n$ et de degré $d$. Soit $S_d^p$ l'union de tous les sous-variétés linéaires de codimension $p$ (intersections avec des hyperplans coordonnés).
La suite exacte suivante est scindée en tant que suite de structures de Hodge :
$$0 \to H^{2p-1}(F_d^n, \mathbb{Q}) \to H^{2p-1}(F_d^n - S_d^p, \mathbb{Q}) \to H^{2p}_{S_d^p}(F_d^n, \mathbb{Q})_0 \to 0$$
où $H^{2p}_{S_d^p}(F_d^n, \mathbb{Q})_0$ est le noyau de l'application classe de cycle (cycles nul-homologues).

Conséquence (Corollaire 3.2) : Tout cycle nul-homologue supporté sur les sous-variétés linéaires est de torsion dans la $p$-ième jacobienne intermédiaire.

• Pour $n=1$ (courbes), cela redonne le théorème de Rohrlich.
• Pour $n > 1$, cela généralise le résultat aux cycles de codimension supérieure.

B. Cycles de Chow supérieurs et régulateurs

L'auteur étend la méthode aux cycles de Chow supérieurs (motivic cycles) dans le groupe $CH^p(F_d^n, q)$.

Théorème 4.2 : Pour les cycles motiviques construits à partir de sous-variétés linéaires et de fonctions dont les diviseurs sont supportés sur des sous-variétés linéaires, la suite exacte associée dans la cohomologie simpliciale se scinde.

Théorème 4.3 (Corollaire) : Le régulateur (application vers la cohomologie de Deligne) d'un tel cycle $y$ est nul :
$$\text{reg}(y) = 0 \quad \text{dans } H^{2p-q}_D(F_d^n, \mathbb{Q}(p))$$
Cela implique, sous la conjecture de Bloch-Beilinson (qui postule l'injectivité du régulateur pour les variétés sur les corps de nombres), que ces cycles sont de torsion dans le groupe de Chow lui-même.

4. Limites et Cycles Non-Torsion

L'article nuance ses résultats en identifiant les cas où la méthode échoue et où des cycles non-torsion existent :

• Échec pour $n=1$ dans le cas des cycles supérieurs : La remarque 4.5 indique que l'argument de scindement ne fonctionne pas pour les courbes de Fermat ($n=1$) dans le contexte des cycles de Chow supérieurs ($q \ge 1$), car les diviseurs des fonctions ne sont pas nécessairement fixés par l'action du groupe $G_d^1$ (les points ne sont pas irréductibles de la même manière).
• Existence de cycles non-triviaux :
  • La section 5 discute de l'existence de cycles non-torsion dans certains groupes de Chow, notamment via la structure inductive des variétés de Fermat.
  • En utilisant l'application rationnelle $F_d^1 \times F_d^1 \times F_d^1 \dashrightarrow F_d^3$, l'auteur suggère que l'image du cycle diagonal modifié de Gross-Schoen (connu pour être non-trivial sur le produit de courbes) donne un cycle nul-homologue non-torsion sur $F_d^3$.
  • Des travaux antérieurs (Ross, Sarkar) ont déjà construit des cycles non-torsion dans des groupes comme $CH^2(F_d^1, 2)$ en utilisant des fonctions sur les points de Fermat.

5. Signification et Contribution

• Unification conceptuelle : L'article offre une preuve « pure pensée » (pure thought) du théorème de Rohrlich, unifiant la théorie des courbes modulaires et des courbes de Fermat sous l'angle des structures de Hodge mixtes, à l'instar de la preuve d'Elkik.
• Généralisation dimensionnelle : La contribution la plus significative est la généralisation de ce phénomène de torsion aux variétés de dimension supérieure et aux cycles de codimension supérieure, un domaine où les résultats explicites sont rares.
• Distinction entre constructions naturelles et cycles exotiques : L'article démontre que les cycles construits de manière « naturelle » à partir de la géométrie linéaire (intersections d'hyperplans) sont toujours de torsion (ou triviaux dans la cohomologie de Deligne). Cela met en lumière que les cycles intéressants (non-torsion) sur les variétés de Fermat proviennent de structures plus complexes, comme les produits de courbes et les cycles diagonaux modifiés, et non de la géométrie linéaire simple.
• Lien avec les conjectures de Bloch-Beilinson : Les résultats renforcent le cadre de travail pour tester les conjectures de Bloch-Beilinson en fournissant des cas où le régulateur est nul, suggérant la torsion dans le groupe de Chow.

En résumé, Sreekantan démontre que la torsion des cycles sur les variétés de Fermat est une conséquence directe de la structure de Hodge mixte induite par l'action du groupe de symétrie, mais que cette torsion ne s'applique pas à tous les types de cycles, laissant la porte ouverte à l'existence de cycles algébriques non triviaux d'origine géométrique plus subtile.