Lipschitz regularity of solutions to two-phase $p$-Laplacian free boundary problems with right hand side

1. Problématique et Contexte

L'article s'intéresse à la régularité locale des solutions de problèmes à frontière libre à deux phases, gouvernés par l'opérateur $p$-Laplacien avec un second membre non nul. Le problème est formulé dans un domaine borné $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ ($n \ge 2$) et cherche à caractériser la régularité de la fonction $u$ et de sa frontière libre $F(u) = \partial \Omega^+(u) \cap \Omega$.

Le système d'équations étudié est :
$$\begin{cases} \Delta_p u = f & \text{dans } \Omega^+(u) \cup \Omega^-(u), \\ u_\nu^+ = G(u_\nu^-, x) & \text{sur } F(u), \end{cases}$$
où :

• $\Delta_p u = \text{div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)$ est l'opérateur $p$-Laplacien ($1 < p < \infty$).
• $\Omega^+(u) = \{x : u(x) > 0\}$ et $\Omega^-(u) = \{x : u(x) \le 0\}^\circ$.
• $u_\nu^+$ et $u_\nu^-$ sont les dérivées normales intérieures respectives dans les phases positive et négative.
• $f \in L^\infty(\Omega)$ est le second membre (non nul en général).
• $G(t, x)$ est une fonction de condition de frontière libre, strictement croissante en $t$, avec un comportement asymptotique linéaire pour $t$ grand.

Défis principaux :

1. Non-linéarité et Singularité/Dégénérescence : L'opérateur $p$-Laplacien est singulier si $1 < p < 2$ et dégénéré si $p > 2$. La présence d'un second membre $f \not\equiv 0$ empêche de négliger le facteur $|\nabla u|^{p-2}$ dans les estimations, rendant l'analyse plus délicate que dans le cas homogène ($f=0$).
2. Absence de formule de monotonie : Contrairement au cas linéaire ($p=2$) où la formule de monotonie de Alt-Caffarelli-Friedman (ou ses variantes comme dans [CJK]) permet d'obtenir la régularité Lipschitzienne, aucune formule de ce type n'est connue pour le cas général $p \neq 2$.
3. Généralité des solutions : Les auteurs travaillent avec des solutions de viscosité, une notion plus faible que les solutions faibles classiques, ce qui élargit la portée des résultats mais complique la preuve de régularité.

2. Méthodologie

La stratégie de preuve s'inspire de l'approche développée par De Silva ([DS]) pour les opérateurs uniformément elliptiques non linéaires, mais adaptée aux spécificités du $p$-Laplacien avec second membre. La démonstration procède en plusieurs étapes clés :

A. Continuité Höldérienne (Théorème 1.2)

Avant d'attaquer la régularité Lipschitzienne, les auteurs établissent d'abord la continuité Höldérienne locale ($C^{0,\alpha}$) des solutions.

• Hypothèses : Ils supposent que $G(t, x)$ est bornée linéairement par $t$ (i.e., $\sigma t \le G(t, x) \le \sigma^{-1} t$ pour $t$ grand).
• Technique : Utilisation d'une inégalité de Harnack faible pour le $p$-Laplacien et d'un argument de dichotomie sur la mesure des ensembles de niveau. Ils montrent que si la solution est bornée, elle ne peut pas "s'aplatir" trop rapidement sans devenir Höldérienne.

B. Régularité $C^{1,\gamma}$ pour des frontières plates (Section 3)

C'est le cœur technique de l'article. Les auteurs raffinent et généralisent des résultats précédents (notamment de [FL3]) concernant la régularité des solutions lorsque la frontière libre est "presque plate" (proche d'une solution à deux plans $U_\beta(x) = \alpha x_n^+ - \beta x_n^-$).

• Théorèmes 3.1, 3.5, 3.7, 3.9 : Ils prouvent que si une solution est suffisamment proche d'une solution à deux plans (condition de "flatness"), alors la frontière libre est de classe $C^{1,\gamma}$ et la solution est $C^{1,\gamma}$ de part et d'autre de la frontière.
• Adaptations : Ils traitent séparément les cas :
  • $f \equiv 0$ (homogène).
  • $p = 2$ (Laplacien classique).
  • $G(t, x) \equiv G(t)$ (condition indépendante de $x$).
  • Le cas général inhomogène ($f \neq 0, p \neq 2$) avec des hypothèses structurelles supplémentaires sur $G$ (notamment (P4) : $t^{-1}G(t)$ strictement décroissante).
• Outils : Utilisation de lemmes de comparaison, de principes du maximum et de constructions de barrières (sub/sur-solutions) adaptées à la structure dégénérée/singulière de l'opérateur.

C. Argument de Compactité et Linéarisation (Lemme 5.1 et 5.2)

Pour passer de la régularité locale à la régularité globale Lipschitzienne, les auteurs utilisent un argument par l'absurde basé sur la compactité :

1. Ils supposent qu'une solution n'est pas Lipschitzienne.
2. Ils construisent une suite de solutions renormalisées $\tilde{u}_k$ en divisant par des constantes $C_k \to \infty$.
3. Grâce aux hypothèses (P2) sur $G$ (comportement asymptotique linéaire), la condition de frontière libre pour les solutions renormalisées converge vers $G^*(t) = t$.
4. Le second membre $f$ devient négligeable ($f_k \to 0$).
5. La limite $u^*$ satisfait donc $\Delta_p u^* = 0$ avec une condition de frontière libre linéaire $u_\nu^+ = u_\nu^-$.
6. Par les estimations $C^{1,\alpha}$ intérieures pour le $p$-Laplacien, $u^*$ est proche d'un plan.
7. Cela implique que les solutions originales $\tilde{u}_k$ sont "presque plates", ce qui permet d'appliquer les théorèmes de régularité $C^{1,\gamma}$ de la Section 3.
8. On en déduit que les gradients de $\tilde{u}_k$ sont uniformément bornés, ce qui contredit l'hypothèse de départ (gradient non borné).

3. Résultats Principaux

Théorème 1.1 (Régularité Optimale)

C'est le résultat central de l'article.

• Énoncé : Soit $u$ une solution de viscosité du problème (1.1) dans la boule unité $B_1$. Sous les hypothèses (P1)-(P3) sur $G$ et (1.2) sur $f$, et (P4) si $f \not\equiv 0$ et $p \neq 2$, alors $u$ est localement Lipschitzienne.
• Estimation :
  $$\|\nabla u\|_{L^\infty(B_{1/2})} \le C (\|u\|_{L^\infty(B_{3/4})} + 1)$$
  où $C$ dépend de $n, p, \|f\|_\infty$ et de la fonction $G$.
• Optimalité : La régularité Lipschitzienne est optimale pour ce type de problème (on ne peut pas espérer $C^{1,\alpha}$ globalement à cause de la discontinuité potentielle du gradient à la frontière libre).

Théorème 1.2 (Continuité Höldérienne)

Établit la régularité $C^{0,\alpha}$ pour une classe plus large de conditions de frontière libre (seulement bornées linéairement), sans nécessiter le comportement asymptotique précis de (P2) ni la condition (P4).

4. Contributions Clés et Innovations

1. Extension au cas inhomogène ($f \neq 0$) : Contrairement à la littérature précédente souvent limitée au cas homogène, ce travail gère explicitement le second membre non nul, ce qui introduit des difficultés techniques majeures dues à la structure de l'opérateur.
2. Nouveauté même pour $f=0$ : Les auteurs soulignent que leurs résultats sont nouveaux même dans le cas homogène pour le $p$-Laplacien, car les résultats existants se limitaient souvent aux minima de fonctionnelles de type Bernoulli.
3. Généralité des solutions : La preuve fonctionne pour des solutions de viscosité, ce qui est crucial car cela permet d'appliquer les résultats à des problèmes où la régularité a priori n'est pas connue.
4. Affinement des outils de régularité de frontière libre : La Section 3 apporte des améliorations significatives aux résultats de [FL3], en affaiblissant certaines hypothèses structurelles sur $G$ (via les hypothèses (H3') et (H3'')) et en traitant systématiquement les cas singuliers/dégénérés avec second membre.
5. Traitement unifié : L'article réussit à traiter simultanément les cas $p=2$ (Laplacien) et $p \neq 2$, ainsi que les cas linéaires et non linéaires de la condition de frontière, en fournissant une preuve explicite pour $p=2$ qui diffère de l'approche par formule de monotonie.

5. Signification et Impact

Ce travail constitue une avancée majeure dans la théorie des problèmes à frontière libre non linéaires.

• Complétude théorique : Il comble un vide important concernant la régularité optimale des solutions pour le $p$-Laplacien avec second membre, un problème ouvert depuis longtemps.
• Robustesse de la méthode : En adaptant la méthode de De Silva (initialement conçue pour des opérateurs uniformément elliptiques) au cadre dégénéré/singulier du $p$-Laplacien, les auteurs démontrent la puissance de l'approche par solutions de viscosité et par compactité.
• Applications : Les résultats s'appliquent à des modèles physiques et mathématiques variés où apparaissent des opérateurs de type $p$-Laplacien avec des conditions de saut de gradient non linéaires (ex: écoulements de fluides non newtoniens, problèmes de combustion, etc.).

En résumé, Ferrari et Lederman établissent que, malgré la complexité introduite par la non-linéarité de l'opérateur et la présence d'un second membre, la régularité Lipschitzienne reste la régularité optimale et est atteignable pour une large classe de conditions de frontière libre, en utilisant une combinaison astucieuse d'estimations de régularité intérieure, de linéarisation asymptotique et d'arguments de compacité.